Номер 11.3, страница 92, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.3. Докажите, что функция $y = \sin2x$ является возрастающей на множестве:

1) $[-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{4} + \pi k], k \in Z;$

2) $[\frac{3\pi}{4} + \pi k; \frac{5\pi}{4} + \pi k], k \in Z.$

Для того чтобы доказать, что функция $y = \sin(2x)$ является возрастающей на некотором множестве, достаточно показать, что ее производная на этом множестве неотрицательна, то есть $y' \ge 0$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:

$y' = (\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$.

Теперь найдем промежутки, на которых производная неотрицательна. Для этого решим неравенство:

$2\cos(2x) \ge 0$

$\cos(2x) \ge 0$

Неравенство $\cos(t) \ge 0$ справедливо для тех значений аргумента $t$, которые принадлежат промежуткам вида $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае аргументом является $2x$, поэтому мы имеем двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le 2x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Чтобы найти промежутки для переменной $x$, разделим все части неравенства на 2:

$-\frac{\pi}{4} + \pi n \le x \le \frac{\pi}{4} + \pi n$

Таким образом, функция $y = \sin(2x)$ возрастает на множестве всех промежутков вида $[-\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь докажем утверждения для каждого из пунктов.

1) Требуется доказать, что функция возрастает на множестве $[-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{4} + \pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Это множество в точности соответствует найденным нами промежуткам возрастания $[-\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n]$, если принять $n=k$. Поскольку на этих промежутках производная $y' = 2\cos(2x) \ge 0$, функция $y=\sin(2x)$ на них возрастает.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Требуется доказать, что функция возрастает на множестве $[\frac{3\pi}{4} + \pi k; \frac{5\pi}{4} + \pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Покажем, что эти промежутки также являются промежутками возрастания функции, приведя их к общему виду $[-\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n]$. Для этого преобразуем границы заданного промежутка:

Левая граница: $\frac{3\pi}{4} + \pi k = \frac{4\pi - \pi}{4} + \pi k = \pi - \frac{\pi}{4} + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi(k+1)$.

Правая граница: $\frac{5\pi}{4} + \pi k = \frac{4\pi + \pi}{4} + \pi k = \pi + \frac{\pi}{4} + \pi k = \frac{\pi}{4} + \pi(k+1)$.

Таким образом, заданное множество можно представить в виде $[-\frac{\pi}{4} + \pi(k+1); \frac{\pi}{4} + \pi(k+1)]$.

Обозначим $n = k+1$. Поскольку $k$ пробегает все целые числа, то и $n$ также пробегает все целые числа. Следовательно, данное множество является совокупностью промежутков возрастания функции $y=\sin(2x)$. На этих промежутках производная $y' = 2\cos(2x) \ge 0$, а значит, функция возрастает.

Ответ: Что и требовалось доказать.