Номер 11.1, страница 92, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.1. Докажите, что является четной функция $y = f(x):$

1) $f(x) = x^2 + \sin^2x;$

2) $f(x) = x^4\sin^2x;$

3) $f(x) = (2 - x^2)\sin^2x - 5;$

4) $f(x) = x\sin^3x;$

5) $f(x) = \frac{\sin x}{x^3 - 4x};$

6) $f(x) = \frac{\sin 3x}{x^5 - 9x}.$

1)Чтобы доказать, что функция $f(x) = x^2 + \sin^2x$ является четной, необходимо проверить выполнение двух условий: 1) ее область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля, и 2) для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

1. Область определения для $x^2$ и $\sin^2x$ — все действительные числа. Следовательно, область определения для $f(x)$ есть $D(f) = (-\infty, +\infty)$, которая является симметричной относительно нуля.

2. Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = (-x)^2 + \sin^2(-x)$.

Поскольку степенная функция с четным показателем является четной, $(-x)^2 = x^2$. Функция синус является нечетной, $\sin(-x) = -\sin x$, поэтому ее квадрат будет четной функцией: $\sin^2(-x) = (\sin(-x))^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2x$.

Таким образом, $f(-x) = x^2 + \sin^2x = f(x)$.

Оба условия выполняются, следовательно, функция является четной.

Ответ: функция является четной.

2)Проверим на четность функцию $f(x) = x^4\sin^2x$.

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty, +\infty)$, так как и $x^4$, и $\sin^2x$ определены для всех действительных $x$. Область симметрична относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^4\sin^2(-x)$.

Так как $(-x)^4 = x^4$ и $\sin^2(-x) = (\sin(-x))^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2x$, то

$f(-x) = x^4\sin^2x = f(x)$.

Функция является произведением двух четных функций ($g(x)=x^4$ и $h(x)=\sin^2x$), поэтому она также является четной.

Ответ: функция является четной.

3)Проверим на четность функцию $f(x) = (2 - x^2)\sin^2x - 5$.

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty, +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (2 - (-x)^2)\sin^2(-x) - 5$.

Учитывая, что $(-x)^2=x^2$ и $\sin^2(-x)=\sin^2x$, получаем:

$f(-x) = (2 - x^2)\sin^2x - 5 = f(x)$.

Оба условия четности функции выполняются.

Ответ: функция является четной.

4)Проверим на четность функцию $f(x) = x\sin^3x$.

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty, +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)\sin^3(-x)$.

Функция $g(x)=x$ является нечетной. Функция $\sin x$ также нечетная, поэтому ее куб тоже будет нечетной функцией: $\sin^3(-x) = (\sin(-x))^3 = (-\sin x)^3 = -\sin^3x$.

Тогда $f(-x) = (-x)(-\sin^3x) = x\sin^3x = f(x)$.

Функция является произведением двух нечетных функций, что делает ее четной.

Ответ: функция является четной.

5)Проверим на четность функцию $f(x) = \frac{\sin x}{x^3 - 4x}$.

1. Найдем область определения $D(f)$. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^3 - 4x \neq 0 \Rightarrow x(x^2 - 4) \neq 0 \Rightarrow x(x-2)(x+2) \neq 0$.

Следовательно, $x \neq 0, x \neq 2, x \neq -2$. Область определения $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\sin(-x)}{(-x)^3 - 4(-x)} = \frac{-\sin x}{-x^3 + 4x} = \frac{-\sin x}{-(x^3 - 4x)} = \frac{\sin x}{x^3 - 4x} = f(x)$.

Функция является частным двух нечетных функций (числитель $\sin x$ и знаменатель $x^3-4x$), поэтому она является четной.

Ответ: функция является четной.

6)Проверим на четность функцию $f(x) = \frac{\sin 3x}{x^5 - 9x}$.

1. Найдем область определения $D(f)$. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^5 - 9x \neq 0 \Rightarrow x(x^4 - 9) \neq 0 \Rightarrow x(x^2-3)(x^2+3) \neq 0$.

Так как $x^2+3 > 0$ для всех $x$, то $x \neq 0$ и $x^2 \neq 3$, то есть $x \neq \pm\sqrt{3}$. Область определения $D(f) = (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}; 0) \cup (0; \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\sin(3(-x))}{(-x)^5 - 9(-x)} = \frac{\sin(-3x)}{-x^5 + 9x} = \frac{-\sin(3x)}{-(x^5 - 9x)} = \frac{\sin(3x)}{x^5 - 9x} = f(x)$.

Оба условия четности функции выполняются.

Ответ: функция является четной.