Номер 6, страница 88, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6. Найдите четную функцию:

A) $f(x)=3x^8-2x;$

B) $f(x)=2-x\sqrt{x};$

C) $f(x)=x^4+x^2+x;$

D) $f(x)=x^6+2x^4.$

Для определения, является ли функция четной, необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции должна быть симметрична относительно нуля.
2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $f(-x) = f(x)$.

Рассмотрим каждую из предложенных функций.

A) $f(x) = 3x^8 - 2x$

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, что является симметричным множеством.Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = 3(-x)^8 - 2(-x) = 3x^8 + 2x$.

Сравним полученное выражение с исходной функцией: $f(-x) = 3x^8 + 2x \neq 3x^8 - 2x = f(x)$.Условие четности не выполняется.

Ответ: не является четной.

B) $f(x) = 2 - x\sqrt{x}$

Найдем область определения функции. Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то $x \ge 0$.Область определения $D(f) = [0; +\infty)$.Эта область не является симметричной относительно нуля, так как, например, $x=4$ входит в область определения, а $x=-4$ — нет. Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: не является четной.

C) $f(x) = x^4 + x^2 + x$

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, что является симметричным множеством.Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (-x)^4 + (-x)^2 + (-x) = x^4 + x^2 - x$.

Сравним полученное выражение с исходной функцией: $f(-x) = x^4 + x^2 - x \neq x^4 + x^2 + x = f(x)$.Условие четности не выполняется.

Ответ: не является четной.

D) $f(x) = x^6 + 2x^4$

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, что является симметричным множеством.Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (-x)^6 + 2(-x)^4$.

Так как любая степень с четным показателем отрицательного числа равна этой же степени положительного числа, то $(-x)^6 = x^6$ и $(-x)^4 = x^4$.Следовательно, $f(-x) = x^6 + 2x^4$.

Сравним полученное выражение с исходной функцией: $f(-x) = x^6 + 2x^4 = f(x)$.Условие четности выполняется.

Ответ: является четной.