Номер 10.16, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.16. Докажите тождество:

1) $\cot\alpha - \cos(2\alpha) \cdot \cot\alpha = \sin(2\alpha);$

2) $\frac{1 - 2\sin^2 \alpha}{2\cot(\frac{\pi}{4}-\alpha)\cos^2(\frac{\pi}{4}+\alpha)} = 1;$

86

3) $\tan^4\alpha \cdot (8\cos^2(\pi - \alpha) - \cos(\pi + 4\alpha) - 1) = 8\sin^4\alpha;$

4) $\cot(2\alpha) - \sin(4\alpha) = \cos(4\alpha) \cdot \cot(2\alpha).$

1) Докажем тождество, преобразовав его левую часть.

$ctg\alpha - \cos(2\alpha) \cdot ctg\alpha$

Вынесем общий множитель $ctg\alpha$ за скобки:

$ctg\alpha (1 - \cos(2\alpha))$

Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$. Отсюда $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2\alpha$.

Подставим это выражение в нашу формулу:

$ctg\alpha \cdot 2\sin^2\alpha$

Запишем котангенс как отношение косинуса к синусу: $ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

$\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot 2\sin^2\alpha$

Сократим $\sin\alpha$ (при условии, что $\sin\alpha \neq 0$, что необходимо для существования $ctg\alpha$):

$2\sin\alpha\cos\alpha$

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Полученное выражение равно правой части исходного тождества:

$\sin(2\alpha) = \sin(2\alpha)$

Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество, преобразовав его левую часть.

$\frac{1 - 2\sin^2\alpha}{2ctg(\frac{\pi}{4} - \alpha)\cos^2(\frac{\pi}{4} + \alpha)}$

Преобразуем числитель, используя формулу косинуса двойного угла $1 - 2\sin^2\alpha = \cos(2\alpha)$.

Преобразуем знаменатель. Используем формулу приведения для котангенса $ctg(\frac{\pi}{2} - x) = tg(x)$, но здесь удобнее использовать формулы сложения или другие соотношения. Воспользуемся тем, что $ctg(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{1}{tg(\frac{\pi}{4} - \alpha)}$ и формулой тангенса разности. Также можно использовать формулу приведения для синуса и косинуса: $sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x)$ и $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)$.

Заметим, что $(\frac{\pi}{4} - \alpha) + (\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{\pi}{2}$.

Следовательно, $sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} - \alpha)) = \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)$.

И $\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} - \alpha)) = \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)$.

Тогда $ctg(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)} = \frac{\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)}{\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)} = tg(\frac{\pi}{4} + \alpha)$.

Подставим это в знаменатель:

$2tg(\frac{\pi}{4} + \alpha)\cos^2(\frac{\pi}{4} + \alpha) = 2\frac{\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)}{\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)}\cos^2(\frac{\pi}{4} + \alpha) = 2\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)$

Используем формулу синуса двойного угла $2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)$, где $x = \frac{\pi}{4} + \alpha$.

Знаменатель равен $\sin(2(\frac{\pi}{4} + \alpha)) = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\alpha)$.

По формуле приведения, $\sin(\frac{\pi}{2} + 2\alpha) = \cos(2\alpha)$.

Таким образом, вся дробь принимает вид:

$\frac{\cos(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = 1$

Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество, преобразовав его левую часть.

$tg^4\alpha \cdot (8\cos^2(\pi - \alpha) - \cos(\pi + 4\alpha) - 1)$

Сначала упростим выражение в скобках. Используем формулы приведения:

$\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$, следовательно $\cos^2(\pi - \alpha) = (-\cos\alpha)^2 = \cos^2\alpha$.

$\cos(\pi + 4\alpha) = -\cos(4\alpha)$.

Подставим эти выражения в скобки:

$8\cos^2\alpha - (-\cos(4\alpha)) - 1 = 8\cos^2\alpha + \cos(4\alpha) - 1$

Теперь используем формулу косинуса двойного угла для $\cos(4\alpha)$, выразив его через $\cos\alpha$:

$\cos(4\alpha) = 2\cos^2(2\alpha) - 1$

$\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$

$\cos(4\alpha) = 2(2\cos^2\alpha - 1)^2 - 1 = 2(4\cos^4\alpha - 4\cos^2\alpha + 1) - 1 = 8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 2 - 1 = 8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1$.

Подставим полученное выражение для $\cos(4\alpha)$ обратно в скобки:

$8\cos^2\alpha + (8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1) - 1 = 8\cos^2\alpha + 8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1 - 1 = 8\cos^4\alpha$.

Теперь вернемся к исходному выражению левой части:

$tg^4\alpha \cdot (8\cos^4\alpha)$

Запишем тангенс как отношение синуса к косинусу: $tg^4\alpha = \frac{\sin^4\alpha}{\cos^4\alpha}$.

$\frac{\sin^4\alpha}{\cos^4\alpha} \cdot 8\cos^4\alpha$

Сократим $\cos^4\alpha$ (при условии, что $\cos\alpha \neq 0$, что необходимо для существования $tg\alpha$):

$8\sin^4\alpha$

Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4) Докажем тождество. Преобразуем его, перенеся слагаемое $cos(4\alpha) \cdot ctg(2\alpha)$ в левую часть:

$ctg(2\alpha) - \cos(4\alpha) \cdot ctg(2\alpha) = \sin(4\alpha)$

Теперь будем доказывать это эквивалентное тождество. Вынесем в левой части общий множитель $ctg(2\alpha)$ за скобки:

$ctg(2\alpha)(1 - \cos(4\alpha))$

Используем формулу косинуса двойного угла: $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$. Применим ее для $x = 2\alpha$:

$1 - \cos(4\alpha) = 2\sin^2(2\alpha)$

Подставим это в левую часть нашего выражения:

$ctg(2\alpha) \cdot 2\sin^2(2\alpha)$

Запишем котангенс как отношение косинуса к синусу: $ctg(2\alpha) = \frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}$.

$\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} \cdot 2\sin^2(2\alpha)$

Сократим $\sin(2\alpha)$ (при условии, что $\sin(2\alpha) \neq 0$, что необходимо для существования $ctg(2\alpha)$):

$2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)$

Используем формулу синуса двойного угла $2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)$ для $x = 2\alpha$:

$2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) = \sin(2 \cdot 2\alpha) = \sin(4\alpha)$

Мы преобразовали левую часть к $\sin(4\alpha)$, что равно правой части преобразованного тождества. Следовательно, исходное тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.