Номер 10.15, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.15. Для функции найдите обратную функцию и постройте их графики в одной координатной плоскости:

1) $y = x^2 - 2x$ при $x \ge 1;$

2) $y = x^2 + 2x$ при $x \le -1;$

3) $y = x^2 - 3x$ при $x \le 1,5;$

4) $y = 2 + \sqrt{x-2}$ при $x \ge 2.$

1) Дана функция $y = x^2 - 2x$ при $x \ge 1$.

Это парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в точке $x = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$. Так как функция рассматривается на промежутке $x \ge 1$, она является строго возрастающей, а значит, обратимой.

Найдем область значений исходной функции. Минимальное значение достигается в вершине: $y(1) = 1^2 - 2(1) = -1$. Таким образом, область значений $E(y) = [-1; +\infty)$. Эта область значений будет областью определения для обратной функции.

Чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$. В уравнении $y = x^2 - 2x$ поменяем местами $x$ и $y$:

$x = y^2 - 2y$

Решим это уравнение относительно $y$. Это квадратное уравнение $y^2 - 2y - x = 0$.

Дополним до полного квадрата:

$(y^2 - 2y + 1) - 1 - x = 0$

$(y - 1)^2 = x + 1$

$y - 1 = \pm\sqrt{x + 1}$

$y = 1 \pm\sqrt{x + 1}$

Поскольку исходная функция была определена для $x \ge 1$, область значений обратной функции должна быть $y \ge 1$. Этому условию удовлетворяет только знак «+».

Следовательно, обратная функция имеет вид $y = 1 + \sqrt{x+1}$. Область ее определения — $x \ge -1$.

Для построения графиков:

Исходная функция $y = x^2 - 2x$ при $x \ge 1$ — это правая ветвь параболы с вершиной в точке $(1, -1)$. Ключевые точки: $(1, -1)$, $(2, 0)$, $(3, 3)$.

Обратная функция $y = 1 + \sqrt{x+1}$ при $x \ge -1$ — это график функции квадратного корня, смещенный на 1 влево и на 1 вверх. Ключевые точки: $(-1, 1)$, $(0, 2)$, $(3, 3)$.

Графики симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: обратная функция $y = 1 + \sqrt{x+1}$ при $x \ge -1$.

2) Дана функция $y = x^2 + 2x$ при $x \le -1$.

Это парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в точке $x = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$. Так как функция рассматривается на промежутке $x \le -1$, она является строго убывающей, а значит, обратимой.

Найдем область значений исходной функции. Минимальное значение достигается в вершине: $y(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$. Таким образом, область значений $E(y) = [-1; +\infty)$. Эта область значений будет областью определения для обратной функции.

Чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$. В уравнении $y = x^2 + 2x$ поменяем местами $x$ и $y$:

$x = y^2 + 2y$

Решим это уравнение относительно $y$. Это квадратное уравнение $y^2 + 2y - x = 0$.

Дополним до полного квадрата:

$(y^2 + 2y + 1) - 1 - x = 0$

$(y + 1)^2 = x + 1$

$y + 1 = \pm\sqrt{x + 1}$

$y = -1 \pm\sqrt{x + 1}$

Поскольку исходная функция была определена для $x \le -1$, область значений обратной функции должна быть $y \le -1$. Этому условию удовлетворяет только знак «−».

Следовательно, обратная функция имеет вид $y = -1 - \sqrt{x+1}$. Область ее определения — $x \ge -1$.

Для построения графиков:

Исходная функция $y = x^2 + 2x$ при $x \le -1$ — это левая ветвь параболы с вершиной в точке $(-1, -1)$. Ключевые точки: $(-1, -1)$, $(-2, 0)$, $(-3, 3)$.

Обратная функция $y = -1 - \sqrt{x+1}$ при $x \ge -1$ — это ветвь параболы, симметричная оси OY, сдвинутая на 1 влево и на 1 вниз. Ключевые точки: $(-1, -1)$, $(0, -2)$, $(3, -3)$.

Графики симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: обратная функция $y = -1 - \sqrt{x+1}$ при $x \ge -1$.

3) Дана функция $y = x^2 - 3x$ при $x \le 1,5$.

Это парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в точке $x = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = 1,5$. Так как функция рассматривается на промежутке $x \le 1,5$, она является строго убывающей, а значит, обратимой.

Найдем область значений исходной функции. Минимальное значение достигается в вершине: $y(1,5) = (1,5)^2 - 3(1,5) = 2,25 - 4,5 = -2,25$. Таким образом, область значений $E(y) = [-2,25; +\infty)$. Эта область значений будет областью определения для обратной функции.

Чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$. В уравнении $y = x^2 - 3x$ поменяем местами $x$ и $y$:

$x = y^2 - 3y$

Решим это уравнение относительно $y$. Это квадратное уравнение $y^2 - 3y - x = 0$.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения: $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-x)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9+4x}}{2}$

Поскольку исходная функция была определена для $x \le 1,5$, область значений обратной функции должна быть $y \le 1,5$. Этому условию удовлетворяет только знак «−», так как $\frac{3 - \sqrt{9+4x}}{2} \le \frac{3}{2} = 1,5$.

Следовательно, обратная функция имеет вид $y = \frac{3 - \sqrt{9+4x}}{2}$. Область ее определения — $x \ge -2,25$.

Для построения графиков:

Исходная функция $y = x^2 - 3x$ при $x \le 1,5$ — это левая ветвь параболы с вершиной в точке $(1,5; -2,25)$. Ключевые точки: $(1,5; -2,25)$, $(0, 0)$, $(1, -2)$.

Обратная функция $y = \frac{3 - \sqrt{9+4x}}{2}$ при $x \ge -2,25$ — это ветвь параболы, симметричная оси OY, с началом в точке $(-2,25; 1,5)$. Ключевые точки: $(-2,25; 1,5)$, $(0, 0)$, $(-2, 1)$.

Графики симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: обратная функция $y = \frac{3 - \sqrt{9+4x}}{2}$ при $x \ge -2,25$.

4) Дана функция $y = 2 + \sqrt{x-2}$ при $x \ge 2$.

Функция является строго возрастающей на всей области определения $x \ge 2$, так как является суммой константы и возрастающей функции $\sqrt{x-2}$. Следовательно, она обратима.

Найдем область значений исходной функции. Минимальное значение достигается при $x=2$: $y(2) = 2 + \sqrt{2-2} = 2$. Таким образом, область значений $E(y) = [2; +\infty)$. Эта область значений будет областью определения для обратной функции.

Чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$. В уравнении $y = 2 + \sqrt{x-2}$ поменяем местами $x$ и $y$:

$x = 2 + \sqrt{y-2}$

Решим это уравнение относительно $y$:

$x - 2 = \sqrt{y-2}$

Так как корень арифметический, должно выполняться условие $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$, что совпадает с найденной областью определения обратной функции.

Возведем обе части в квадрат:

$(x - 2)^2 = y - 2$

$y = (x - 2)^2 + 2$

Область определения обратной функции — $x \ge 2$.

Для построения графиков:

Исходная функция $y = 2 + \sqrt{x-2}$ при $x \ge 2$ — это стандартный график $\sqrt{x}$, смещенный на 2 вправо и на 2 вверх. Ключевые точки: $(2, 2)$, $(3, 3)$, $(6, 4)$.

Обратная функция $y = (x-2)^2+2$ при $x \ge 2$ — это правая ветвь параболы с вершиной в точке $(2, 2)$. Ключевые точки: $(2, 2)$, $(3, 3)$, $(4, 6)$.

Графики симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: обратная функция $y = (x-2)^2 + 2$ при $x \ge 2$.