Номер 10.14, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.14. Для функции найдите обратную функцию и постройте их графики в одной координатной плоскости:

1) $y = x^2 + 1$ при $x \ge 0$;

2) $y = (x + 1)^2$ при $x \le -1$;

3) $y = x^2 - 2x + 1$ при $x \ge 1$;

4) $y = x^2 - 4x + 4$ при $x \le 2$.

1) Исходная функция: $y = x^2 + 1$ при $x \ge 0$.

Для нахождения обратной функции необходимо выразить $x$ через $y$. В получившемся выражении $x = g(y)$ мы затем меняем переменные местами, чтобы получить $y = g(x)$.

1. Найдём обратную функцию.

Из уравнения $y = x^2 + 1$ выразим $x^2$: $x^2 = y - 1$. Отсюда $x = \pm\sqrt{y-1}$.

Согласно условию, $x \ge 0$, поэтому мы выбираем неотрицательный корень: $x = \sqrt{y-1}$.

Теперь поменяем местами $x$ и $y$, чтобы получить обратную функцию в стандартном виде: $y = \sqrt{x-1}$.

Определим область определения и область значений. Для исходной функции $y = x^2 + 1$: область определения $D(f) = [0, +\infty)$; область значений $E(f) = [1, +\infty)$.

Для обратной функции $y = \sqrt{x-1}$: область определения $D(f^{-1})$ совпадает с областью значений исходной функции, то есть $x \ge 1$. Область значений $E(f^{-1})$ совпадает с областью определения исходной функции, то есть $y \ge 0$.

2. Построение графиков.

График функции $y = x^2 + 1$ при $x \ge 0$ — это правая ветвь параболы, вершина которой находится в точке $(0, 1)$, а ветви направлены вверх.

График обратной функции $y = \sqrt{x-1}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси $OX$, с вершиной в точке $(1, 0)$.

Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: обратная функция $y = \sqrt{x-1}$ при $x \ge 1$.

2) Исходная функция: $y = (x + 1)^2$ при $x \le -1$.

1. Найдём обратную функцию.

Из уравнения $y = (x + 1)^2$ извлечём корень: $\sqrt{y} = |x+1|$.

Так как по условию $x \le -1$, то $x+1 \le 0$, и, следовательно, $|x+1| = -(x+1)$.

Получаем $\sqrt{y} = -(x+1)$. Отсюда $x+1 = -\sqrt{y}$ и $x = -1 - \sqrt{y}$.

Меняем местами $x$ и $y$: $y = -1 - \sqrt{x}$.

Для исходной функции $y = (x+1)^2$: область определения $D(f) = (-\infty, -1]$; область значений $E(f) = [0, +\infty)$.

Для обратной функции $y = -1 - \sqrt{x}$: область определения $D(f^{-1}) = E(f) = [0, +\infty)$; область значений $E(f^{-1}) = D(f) = (-\infty, -1]$.

2. Построение графиков.

График функции $y = (x + 1)^2$ при $x \le -1$ — это левая ветвь параболы с вершиной в точке $(-1, 0)$, ветви которой направлены вверх.

График обратной функции $y = -1 - \sqrt{x}$ — это нижняя ветвь параболы, симметричной относительно оси $OX$, смещённая на 1 единицу вниз, с вершиной в точке $(0, -1)$.

Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: обратная функция $y = -1 - \sqrt{x}$ при $x \ge 0$.

3) Исходная функция: $y = x^2 - 2x + 1$ при $x \ge 1$.

Сначала преобразуем выражение: $y = (x-1)^2$.

1. Найдём обратную функцию.

Из уравнения $y = (x-1)^2$ извлечём корень: $\sqrt{y} = |x-1|$.

По условию $x \ge 1$, значит $x-1 \ge 0$, и $|x-1| = x-1$.

Получаем $\sqrt{y} = x-1$. Отсюда $x = 1 + \sqrt{y}$.

Меняем местами $x$ и $y$: $y = 1 + \sqrt{x}$.

Для исходной функции $y = (x-1)^2$: область определения $D(f) = [1, +\infty)$; область значений $E(f) = [0, +\infty)$.

Для обратной функции $y = 1 + \sqrt{x}$: область определения $D(f^{-1}) = [0, +\infty)$; область значений $E(f^{-1}) = [1, +\infty)$.

2. Построение графиков.

График функции $y = (x-1)^2$ при $x \ge 1$ — это правая ветвь параболы с вершиной в точке $(1, 0)$, ветви которой направлены вверх.

График обратной функции $y = 1 + \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси $OX$, смещённая на 1 единицу вверх, с вершиной в точке $(0, 1)$.

Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: обратная функция $y = 1 + \sqrt{x}$ при $x \ge 0$.

4) Исходная функция: $y = x^2 - 4x + 4$ при $x \le 2$.

Сначала преобразуем выражение: $y = (x-2)^2$.

1. Найдём обратную функцию.

Из уравнения $y = (x-2)^2$ извлечём корень: $\sqrt{y} = |x-2|$.

По условию $x \le 2$, значит $x-2 \le 0$, и $|x-2| = -(x-2) = 2-x$.

Получаем $\sqrt{y} = 2-x$. Отсюда $x = 2 - \sqrt{y}$.

Меняем местами $x$ и $y$: $y = 2 - \sqrt{x}$.

Для исходной функции $y = (x-2)^2$: область определения $D(f) = (-\infty, 2]$; область значений $E(f) = [0, +\infty)$.

Для обратной функции $y = 2 - \sqrt{x}$: область определения $D(f^{-1}) = [0, +\infty)$; область значений $E(f^{-1}) = (-\infty, 2]$.

2. Построение графиков.

График функции $y = (x-2)^2$ при $x \le 2$ — это левая ветвь параболы с вершиной в точке $(2, 0)$, ветви которой направлены вверх.

График обратной функции $y = 2 - \sqrt{x}$ — это нижняя ветвь параболы, симметричной относительно оси $OX$, отраженная относительно оси $OX$ и смещенная на 2 единицы вверх, с вершиной в точке $(0, 2)$.

Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: обратная функция $y = 2 - \sqrt{x}$ при $x \ge 0$.