Номер 10.10, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.10. Может ли функция иметь обратную, если она:

1) линейная;

2) квадратичная;

3) дробно-линейная;

4) функция вида $y = \sqrt{x+a}$?

Для того чтобы функция имела обратную, она должна быть обратимой, то есть взаимно однозначной (биективной). Для непрерывной функции это означает, что она должна быть строго монотонной на всей своей области определения (либо строго возрастать, либо строго убывать).

1) линейная

Линейная функция задается формулой $y = kx + b$.

Её область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Рассмотрим два случая:

1. Если коэффициент $k \neq 0$, то функция является строго монотонной. При $k > 0$ она строго возрастает, а при $k < 0$ — строго убывает. В этом случае для каждого значения $y$ существует единственное значение $x$, такое что $y = kx + b$. Выразим $x$ через $y$:

$kx = y - b \implies x = \frac{y-b}{k}$.

Обратная функция существует и имеет вид $y^{-1}(x) = \frac{x-b}{k}$, что также является линейной функцией.

2. Если коэффициент $k = 0$, то функция принимает вид $y = b$. Это постоянная функция. Она не является строго монотонной и не является взаимно однозначной, так как для разных значений $x$ значение функции одинаково. Следовательно, в этом случае обратной функции не существует.

Так как вопрос "Может ли...", а для $k \neq 0$ может, то ответ — да.

Ответ: Да, может, если она не является постоянной (т.е. если её угловой коэффициент $k \neq 0$).

2) квадратичная

Квадратичная функция задается формулой $y = ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$.

Её естественная область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Графиком является парабола, которая не является монотонной на всей своей области определения. Например, для функции $y = x^2$ имеем $f(-2) = 4$ и $f(2) = 4$. Так как разным значениям аргумента ($x = -2$ и $x = 2$) соответствует одно и то же значение функции ($y=4$), функция не является взаимно однозначной. Следовательно, на всей своей естественной области определения квадратичная функция не имеет обратной.

Стоит отметить, что если рассмотреть квадратичную функцию на промежутке, где она строго монотонна (например, для $y=ax^2+bx+c$ на луче $[ -b/(2a), +\infty)$ или $(-\infty, -b/(2a)]$), то на этом суженном домене она будет иметь обратную. Однако, как правило, под "квадратичной функцией" понимают функцию, определенную на всей числовой оси.

Ответ: Нет, не может, так как она не является строго монотонной на всей своей естественной области определения ($\mathbb{R}$).

3) дробно-линейная

Дробно-линейная функция задается формулой $y = \frac{ax+b}{cx+d}$.

Будем считать, что она не является ни линейной ($c \neq 0$), ни постоянной ($ad - bc \neq 0$).

Область определения этой функции: $D(y) = (-\infty, -d/c) \cup (-d/c, +\infty)$.

Чтобы исследовать монотонность, найдем производную:

$y' = \frac{a(cx+d) - c(ax+b)}{(cx+d)^2} = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2}$.

Так как знаменатель $(cx+d)^2$ всегда положителен (в области определения), знак производной зависит только от знака числителя $ad-bc$. Поскольку мы предположили, что $ad-bc \neq 0$, производная $y'$ сохраняет свой знак на всей области определения. Это означает, что функция является строго монотонной на каждом из интервалов своей области определения и, следовательно, является взаимно однозначной.

Выразим $x$ через $y$, чтобы найти обратную функцию:

$y(cx+d) = ax+b \implies cxy + dy = ax+b \implies x(cy-a) = b-dy \implies x = \frac{-dy+b}{cy-a}$.

Обратная функция существует и имеет вид $y^{-1}(x) = \frac{-dx+b}{cx-a}$.

Ответ: Да, может, если она не является постоянной ($ad-bc \neq 0$).

4) функция вида $y = \sqrt{x+a}$

Функция вида $y = \sqrt{x+a}$ определена при условии $x+a \ge 0$, то есть её область определения $D(y) = [-a, +\infty)$.

На всей своей области определения эта функция является строго возрастающей. Для любых $x_1$ и $x_2$ из $D(y)$ таких, что $x_1 < x_2$, следует, что $x_1+a < x_2+a$, и так как функция $f(t)=\sqrt{t}$ возрастающая, то $\sqrt{x_1+a} < \sqrt{x_2+a}$.

Поскольку функция строго монотонна, она имеет обратную. Найдем ее. Область значений исходной функции $E(y) = [0, +\infty)$ будет областью определения для обратной.

$y = \sqrt{x+a} \implies y^2 = x+a$ (при $y \ge 0$) $\implies x = y^2 - a$.

Обратная функция существует и имеет вид $y^{-1}(x) = x^2 - a$, её область определения $x \ge 0$.

Ответ: Да, может.