Номер 10.12, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.12. Может ли функция иметь обратную, если она:

1) четная;

2) нечетная;

3) периодическая;

4) убывающая?

Для того чтобы функция имела обратную, она должна быть обратимой, то есть взаимно однозначной (биективной). Это означает, что каждому значению аргумента $x$ из области определения соответствует единственное значение функции $y$, и наоборот, каждому значению функции $y$ из области значений соответствует единственное значение аргумента $x$. Геометрически это означает, что любая горизонтальная прямая пересекает график функции не более чем в одной точке. Строго монотонные функции (строго возрастающие или строго убывающие) всегда имеют обратную функцию.

1) четная

Четная функция по определению удовлетворяет равенству $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из ее области определения, которая должна быть симметричной относительно нуля. Если область определения функции содержит хотя бы одну точку $x_0 \ne 0$, то она содержит и точку $-x_0$. При этом $x_0 \ne -x_0$, но $f(x_0) = f(-x_0)$. Это означает, что двум разным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции. Следовательно, функция не является взаимно однозначной и не может иметь обратную.

Исключением является тривиальный случай, когда область определения функции состоит только из одного числа: $D(f) = \{0\}$. В этом случае функция $f(x)$ (например, $f(0)=c$) является и четной ($f(-0)=f(0)$), и взаимно однозначной, а значит, имеет обратную. Однако, как правило, под четными функциями понимают функции, определенные на более широких множествах, не состоящих из одной точки.

Ответ: Нет, за исключением тривиального случая, когда область определения функции состоит из точки $x=0$.

2) нечетная

Нечетная функция может иметь обратную. Для этого она должна быть строго монотонной.

Например, функция $f(x) = x^3$ является нечетной, так как $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$. Эта функция является строго возрастающей на всей числовой прямой, поэтому она взаимно однозначна и имеет обратную функцию $g(y) = \sqrt[3]{y}$.

Другой пример: $f(x) = \sin x$ на отрезке $[-\pi/2, \pi/2]$. На этом отрезке функция является нечетной, строго возрастающей и имеет обратную функцию $g(y) = \arcsin y$.

Однако не всякая нечетная функция имеет обратную. Например, $f(x) = x^3 - 2x$ является нечетной, но не монотонной, а значит, не имеет обратной на всей числовой прямой.

Ответ: Да, может.

3) периодическая

Периодическая функция по определению удовлетворяет равенству $f(x+T) = f(x)$ для всех $x$ из области определения и некоторого числа $T \ne 0$, называемого периодом.

Поскольку для разных аргументов $x$ и $x+T$ значения функции совпадают, функция не является взаимно однозначной. Следовательно, периодическая функция не может иметь обратную.

Например, для функции $f(x) = \cos x$ имеем $\cos(0) = 1$ и $\cos(2\pi) = 1$. Разным значениям аргумента $0$ и $2\pi$ соответствует одно и то же значение функции, равное 1.

Ответ: Нет, не может.

4) убывающая

Да, может. Функция имеет обратную, если она является строго монотонной. Строго убывающая функция является частным случаем убывающей функции.

Любая строго убывающая функция является взаимно однозначной. Докажем это. Пусть функция $f(x)$ строго убывает, и пусть $x_1 \ne x_2$. Если $x_1 < x_2$, то по определению строго убывающей функции $f(x_1) > f(x_2)$. Если же $x_1 > x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$. В обоих случаях $f(x_1) \ne f(x_2)$. Таким образом, разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции, и, следовательно, она имеет обратную.

Например, линейная функция $f(x) = -2x + 1$ является строго убывающей на всей числовой прямой и имеет обратную функцию $g(y) = -\frac{1}{2}(y-1)$.

Важно отметить, что если функция является убывающей, но не строго (то есть на некоторых промежутках она может быть постоянной), то она не будет иметь обратной. Но поскольку вопрос "может ли", а среди убывающих функций есть и строго убывающие, то ответ положительный.

Ответ: Да, может.