Номер 10.11, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.11. Рассмотрите график функции, представленный на рисунке 10.3. Запишите несколько промежутков, на которых данная функция имеет обратную функцию и несколько промежутков, на которых она не имеет обратной функции.

1)

2)

Рис. 10.3

Функция имеет обратную на некотором промежутке, если на этом промежутке она является строго монотонной, то есть либо строго возрастает, либо строго убывает. Геометрически это означает, что любая горизонтальная прямая пересекает график функции на этом промежутке не более чем в одной точке. Если на промежутке функция имеет хотя бы один локальный экстремум (точку максимума или минимума), то она не является строго монотонной и, следовательно, не имеет обратной функции на этом промежутке.

1) Для функции, изображенной на графике 1, можно выделить следующие промежутки монотонности:

1. Функция строго возрастает на промежутке $(-\infty, -1]$.

2. Функция строго убывает на промежутке $[-1, 1]$.

3. Функция строго возрастает на промежутке $[1, \infty)$.

Следовательно, на любом из этих промежутков (или их подмножеств) функция имеет обратную. Например:

Промежутки, на которых функция имеет обратную функцию:

$x \in (-\infty, -1]$, $x \in [-1, 1]$, $x \in [1, \infty)$, $x \in [2, 5]$, $x \in [-0.5, 0.5]$.

Промежутки, на которых функция не имеет обратной функции (поскольку на них она не является монотонной):

$x \in [-2, 2]$ (включает точку максимума и точку минимума), $x \in [-1.5, 0]$ (включает точку максимума), $x \in [0, 2]$ (включает точку минимума).

Ответ: Имеет обратную функцию, например, на промежутках $(-\infty, -1]$, $[-1, 1]$ и $[1, \infty)$. Не имеет обратной функции, например, на промежутках $[-2, 2]$, $[-2, 0]$ и $[0, 3]$.

2) Для функции, изображенной на графике 2, можно выделить следующие промежутки монотонности:

1. Функция строго убывает на промежутке $(-\infty, -1]$.

2. Функция строго возрастает на промежутке $[-1, 1]$.

3. Функция строго убывает на промежутке $[1, \infty)$.

Таким образом, на любом из этих промежутков (или их подмножеств) функция имеет обратную.

Промежутки, на которых функция имеет обратную функцию:

$x \in (-\infty, -1]$, $x \in [-1, 1]$, $x \in [1, \infty)$, $x \in [-3, -2]$, $x \in [0, 1]$.

Промежутки, на которых функция не имеет обратной функции (поскольку на них она не является монотонной):

$x \in [-2, 2]$ (включает точку минимума и точку максимума), $x \in [-1.5, 0.5]$ (включает точку минимума), $x \in [0, 2]$ (включает точку максимума).

Ответ: Имеет обратную функцию, например, на промежутках $(-\infty, -1]$, $[-1, 1]$ и $[1, \infty)$. Не имеет обратной функции, например, на промежутках $[-2, 2]$, $[-2, 0]$ и $[0, 3]$.