Номер 10.13, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.13. Постройте график функции $y = f(g(x))$, если:

1) $f(x) = x^2, g(x) = \sqrt{x};$

2) $f(x) = x^2, g(x) = \sqrt{-x}.$

1) Чтобы построить график сложной функции $y = f(g(x))$, сначала найдем ее аналитическое выражение. Для этого подставим выражение для $g(x)$ в функцию $f(x)$ вместо переменной $x$.

Даны функции $f(x) = x^2$ и $g(x) = \sqrt{x}$.

Составим сложную функцию:

$y = f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = (\sqrt{x})^2 = x$.

Теперь найдем область определения функции $y = f(g(x))$. Она определяется областью определения внутренней функции $g(x)$.

Для функции $g(x) = \sqrt{x}$ область определения задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x \ge 0$.

Следовательно, область определения для $y = f(g(x))$ - это все $x$ из промежутка $[0, +\infty)$.

Таким образом, нам нужно построить график функции $y = x$ при условии $x \ge 0$. Это луч, выходящий из начала координат и являющийся биссектрисой первого координатного угла.

Ответ: График функции представляет собой луч $y = x$ с началом в точке $(0, 0)$, расположенный в первой координатной четверти.

2) Аналогично предыдущему пункту, найдем аналитическое выражение для $y = f(g(x))$.

Даны функции $f(x) = x^2$ и $g(x) = \sqrt{-x}$.

Составим сложную функцию:

$y = f(g(x)) = f(\sqrt{-x}) = (\sqrt{-x})^2 = -x$.

Теперь найдем область определения функции $y = f(g(x))$, которая совпадает с областью определения внутренней функции $g(x) = \sqrt{-x}$.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$-x \ge 0$.

Умножим неравенство на -1, изменив знак на противоположный:

$x \le 0$.

Следовательно, область определения для $y = f(g(x))$ - это все $x$ из промежутка $(-\infty, 0]$.

Таким образом, нам нужно построить график функции $y = -x$ при условии $x \le 0$. Это луч, выходящий из начала координат и являющийся биссектрисой второго координатного угла.

Ответ: График функции представляет собой луч $y = -x$ с началом в точке $(0, 0)$, расположенный во второй координатной четверти.