Номер 10.9, страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.9. Совпадает ли график функции с графиком данной обратной функции:

1) $y = \frac{7}{x}$;

2) $y = -\frac{5}{x}$;

3) $y = \frac{7}{x-2}$;

4) $y = 5-\frac{8}{x}$?

Чтобы определить, совпадает ли график функции с графиком обратной ей функции, необходимо найти для каждой функции обратную и сравнить ее с исходной. Графики совпадают только в том случае, если исходная и обратная функции тождественно равны. Алгоритм нахождения обратной функции для $y=f(x)$:

1. В уравнении функции поменять местами переменные $x$ и $y$.

2. Из получившегося уравнения выразить $y$ через $x$.

1) $y=\frac{7}{x}$

Дана функция $y=\frac{7}{x}$. Для нахождения обратной функции поменяем местами переменные $x$ и $y$, получим уравнение $x=\frac{7}{y}$.

Выразим $y$ из этого уравнения. Для этого умножим обе части на $y$ (при условии $y \neq 0$, что соответствует области определения исходной функции) и разделим на $x$ (при условии $x \neq 0$, что соответствует области значений исходной функции):

$xy = 7$

$y = \frac{7}{x}$

Обратная функция $y=\frac{7}{x}$ полностью совпадает с исходной функцией.

Ответ: да, совпадает.

2) $y=-\frac{5}{x}$

Дана функция $y=-\frac{5}{x}$. Меняем местами переменные: $x=-\frac{5}{y}$.

Выражаем $y$:

$xy = -5$

$y = -\frac{5}{x}$

Обратная функция $y=-\frac{5}{x}$ полностью совпадает с исходной функцией.

Ответ: да, совпадает.

3) $y=\frac{7}{x-2}$

Дана функция $y=\frac{7}{x-2}$. Меняем местами переменные: $x=\frac{7}{y-2}$.

Выражаем $y$:

$x(y-2) = 7$

$y-2 = \frac{7}{x}$

$y = \frac{7}{x} + 2$

Обратная функция $y = \frac{7}{x} + 2$ не совпадает с исходной функцией $y=\frac{7}{x-2}$.

Ответ: нет, не совпадает.

4) $y=5-\frac{8}{x}$

Дана функция $y=5-\frac{8}{x}$. Меняем местами переменные: $x=5-\frac{8}{y}$.

Выражаем $y$:

$x-5 = -\frac{8}{y}$

$5-x = \frac{8}{y}$

$y(5-x) = 8$

$y = \frac{8}{5-x}$

Обратная функция $y = \frac{8}{5-x}$ не совпадает с исходной функцией $y=5-\frac{8}{x}$.

Ответ: нет, не совпадает.