Номер 10.7, страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.7. Составьте сложные функции $f(g(x)), f(f(x)), g(g(x))$, если:

1) $f(x) = x-1, g(x) = \sqrt{3x-2}$;

2) $f(x) = 3-2x^3, g(x) = \frac{1}{x-2}$;

3) $f(x) = \frac{2x}{3x-1}, g(x) = \frac{1}{x^2+2}$;

4) $f(x) = \sqrt{x^3-2x}, g(x) = \frac{1}{x^3}$;

5) $f(x) = \sin3x + 5x, g(x) = x^2-1$;

6) $f(x) = \cos5x - 6, g(x) = \operatorname{tg}7x$.

1) Для функций $f(x) = x-1$ и $g(x) = \sqrt{3x-2}$ найдем сложные функции:

$f(g(x)) = f(\sqrt{3x-2}) = \sqrt{3x-2} - 1$

$f(f(x)) = f(x-1) = (x-1) - 1 = x-2$

$g(g(x)) = g(\sqrt{3x-2}) = \sqrt{3(\sqrt{3x-2}) - 2} = \sqrt{3\sqrt{3x-2} - 2}$

Ответ: $f(g(x)) = \sqrt{3x-2} - 1$; $f(f(x)) = x-2$; $g(g(x)) = \sqrt{3\sqrt{3x-2} - 2}$.

2) Для функций $f(x) = 3-2x^3$ и $g(x) = \frac{1}{x-2}$ найдем сложные функции:

$f(g(x)) = f(\frac{1}{x-2}) = 3 - 2(\frac{1}{x-2})^3 = 3 - \frac{2}{(x-2)^3}$

$f(f(x)) = f(3-2x^3) = 3 - 2(3-2x^3)^3$

$g(g(x)) = g(\frac{1}{x-2}) = \frac{1}{(\frac{1}{x-2}) - 2} = \frac{1}{\frac{1-2(x-2)}{x-2}} = \frac{x-2}{1-2x+4} = \frac{x-2}{5-2x}$

Ответ: $f(g(x)) = 3 - \frac{2}{(x-2)^3}$; $f(f(x)) = 3 - 2(3-2x^3)^3$; $g(g(x)) = \frac{x-2}{5-2x}$.

3) Для функций $f(x) = \frac{2x}{3x-1}$ и $g(x) = \frac{1}{x^2+2}$ найдем сложные функции:

$f(g(x)) = f(\frac{1}{x^2+2}) = \frac{2(\frac{1}{x^2+2})}{3(\frac{1}{x^2+2}) - 1} = \frac{\frac{2}{x^2+2}}{\frac{3-(x^2+2)}{x^2+2}} = \frac{2}{1-x^2}$

$f(f(x)) = f(\frac{2x}{3x-1}) = \frac{2(\frac{2x}{3x-1})}{3(\frac{2x}{3x-1}) - 1} = \frac{\frac{4x}{3x-1}}{\frac{6x-(3x-1)}{3x-1}} = \frac{4x}{3x+1}$

$g(g(x)) = g(\frac{1}{x^2+2}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^2+2})^2 + 2} = \frac{1}{\frac{1+2(x^2+2)^2}{(x^2+2)^2}} = \frac{(x^2+2)^2}{1+2(x^2+2)^2}$

Ответ: $f(g(x)) = \frac{2}{1-x^2}$; $f(f(x)) = \frac{4x}{3x+1}$; $g(g(x)) = \frac{(x^2+2)^2}{1+2(x^2+2)^2}$.

4) Для функций $f(x) = \sqrt{x^3-2x}$ и $g(x) = \frac{1}{x^3}$ найдем сложные функции:

$f(g(x)) = f(\frac{1}{x^3}) = \sqrt{(\frac{1}{x^3})^3 - 2(\frac{1}{x^3})} = \sqrt{\frac{1}{x^9} - \frac{2}{x^3}} = \sqrt{\frac{1-2x^6}{x^9}}$

$f(f(x)) = f(\sqrt{x^3-2x}) = \sqrt{(\sqrt{x^3-2x})^3 - 2\sqrt{x^3-2x}} = \sqrt{(x^3-2x)\sqrt{x^3-2x} - 2\sqrt{x^3-2x}}$

$g(g(x)) = g(\frac{1}{x^3}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^3})^3} = \frac{1}{\frac{1}{x^9}} = x^9$

Ответ: $f(g(x)) = \sqrt{\frac{1-2x^6}{x^9}}$; $f(f(x)) = \sqrt{(x^3-2x)\sqrt{x^3-2x} - 2\sqrt{x^3-2x}}$; $g(g(x)) = x^9$.

5) Для функций $f(x) = \sin(3x) + 5x$ и $g(x) = x^2-1$ найдем сложные функции:

$f(g(x)) = f(x^2-1) = \sin(3(x^2-1)) + 5(x^2-1) = \sin(3x^2-3) + 5x^2 - 5$

$f(f(x)) = f(\sin(3x) + 5x) = \sin(3(\sin(3x) + 5x)) + 5(\sin(3x) + 5x) = \sin(3\sin(3x)+15x) + 5\sin(3x) + 25x$

$g(g(x)) = g(x^2-1) = (x^2-1)^2 - 1 = x^4 - 2x^2 + 1 - 1 = x^4 - 2x^2$

Ответ: $f(g(x)) = \sin(3x^2-3) + 5x^2 - 5$; $f(f(x)) = \sin(3\sin(3x)+15x) + 5\sin(3x) + 25x$; $g(g(x)) = x^4 - 2x^2$.

6) Для функций $f(x) = \cos(5x) - 6$ и $g(x) = \tan(7x)$ найдем сложные функции:

$f(g(x)) = f(\tan(7x)) = \cos(5\tan(7x)) - 6$

$f(f(x)) = f(\cos(5x)-6) = \cos(5(\cos(5x)-6)) - 6 = \cos(5\cos(5x)-30) - 6$

$g(g(x)) = g(\tan(7x)) = \tan(7\tan(7x)) $

Ответ: $f(g(x)) = \cos(5\tan(7x)) - 6$; $f(f(x)) = \cos(5\cos(5x)-30) - 6$; $g(g(x)) = \tan(7\tan(7x))$.