Вопросы, страница 84, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Назовите область определения и множество значений функции, которая обратна функции с областью определения $(-\infty 5] \cup (6; +\infty)$ и множеством значений $(-\infty +\infty)$.

2. Являются ли функции $y = 0.5x + 2$ и $y = 2x - 4$ взаимно-обратными?

3. Имеет ли функция обратную функцию, если она не является монотонной (рис. 10.2)?

4. Почему для монотонной функции всегда есть обратная функция?

Рис. 10.2

1. Для взаимно-обратных функций область определения одной функции является множеством значений другой, и наоборот. Пусть исходная функция — это $f(x)$, а обратная ей — $g(x)$.

По условию, область определения исходной функции $D(f) = (-\infty; 5] \cup (6; +\infty)$, а множество ее значений $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

Для обратной функции $g(x)$ область определения $D(g)$ равна множеству значений $E(f)$, а множество значений $E(g)$ равно области определения $D(f)$.

Таким образом, для функции, обратной данной, получаем:

Область определения: $(-\infty; +\infty)$.

Множество значений: $(-\infty; 5] \cup (6; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $(-\infty; 5] \cup (6; +\infty)$.

2. Чтобы проверить, являются ли функции взаимно-обратными, найдем функцию, обратную для $y = 0,5x + 2$. Для этого выразим $x$ через $y$:

$y - 2 = 0,5x$

$x = \frac{y - 2}{0,5}$

$x = 2(y - 2)$

$x = 2y - 4$

Теперь для получения обратной функции поменяем местами переменные $x$ и $y$:

$y = 2x - 4$

Полученное выражение совпадает со второй данной функцией. Следовательно, функции являются взаимно-обратными.

Ответ: Да, являются.

3. Функция имеет обратную только в том случае, если она каждому своему значению из множества значений ставит в соответствие единственное значение аргумента из области определения. На графике (рис. 10.2) изображена немонотонная функция. Мы видим, что существуют такие значения аргумента $x_1$ и $x_2$ ($x_1 \neq x_2$), для которых значения функции совпадают: $f(x_1) = f(x_2) = y_0$.

Поскольку одному значению функции $y_0$ соответствуют два разных значения аргумента, условие для существования обратной функции не выполняется. Таким образом, у данной функции нет обратной на всей области определения.

Ответ: Нет, не имеет.

4. Монотонная функция (строго возрастающая или строго убывающая) является обратимой, то есть каждому значению из множества значений соответствует ровно одно значение из области определения.

Рассмотрим строго возрастающую функцию $f(x)$. Если взять два любых различных значения аргумента $x_1$ и $x_2$, например, $x_1 < x_2$, то по определению строгого возрастания $f(x_1) < f(x_2)$. Следовательно, $f(x_1) \neq f(x_2)$.

Аналогично для строго убывающей функции: если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$, и снова $f(x_1) \neq f(x_2)$.

Таким образом, для любой монотонной функции разным значениям аргумента всегда соответствуют разные значения функции. Это и есть условие, необходимое и достаточное для существования обратной функции.

Ответ: Потому что монотонная функция каждому значению из множества значений ставит в соответствие ровно одно значение из области определения, что является условием существования обратной функции.