Номер 9.17, страница 82, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.17. В какой координатной четверти может находиться угол $ \alpha $, если:

1) $ | \sin \alpha | > \sin \alpha $;

2) $ | \cos \alpha | = \cos \alpha $;

3) $ | \cos \alpha | > \cos \alpha $;

4) $ | \operatorname{tg} \alpha | > \operatorname{tg} \alpha $;

5) $ | \operatorname{ctg} \alpha | = \operatorname{ctg} \alpha $;

6) $ | \operatorname{ctg} \alpha | < \operatorname{ctg} \alpha $?

1) $|sin \alpha| > sin \alpha$;

Решение: Неравенство вида $|x| > x$ справедливо тогда и только тогда, когда $x$ является отрицательным числом, то есть $x < 0$. Применительно к данной задаче, это означает, что $sin \alpha < 0$. Синус угла — это ордината (координата y) точки на единичной окружности. Синус принимает отрицательные значения в тех четвертях, где ордината отрицательна. Это III и IV координатные четверти.

Ответ: III или IV четверть.

2) $|cos \alpha| = cos \alpha$;

Решение: Равенство вида $|x| = x$ справедливо тогда и только тогда, когда $x$ является неотрицательным числом, то есть $x \ge 0$. В данном случае это означает, что $cos \alpha \ge 0$. Косинус угла — это абсцисса (координата x) точки на единичной окружности. Косинус принимает неотрицательные значения в тех четвертях, где абсцисса неотрицательна. Это I и IV координатные четверти (включая граничные значения на оси OY, где $cos \alpha = 0$).

Ответ: I или IV четверть.

3) $|cos \alpha| > cos \alpha$;

Решение: Неравенство вида $|x| > x$ справедливо тогда и только тогда, когда $x < 0$. В данном случае это означает, что $cos \alpha < 0$. Косинус угла — это абсцисса (координата x) точки на единичной окружности. Косинус принимает отрицательные значения в тех четвертях, где абсцисса отрицательна. Это II и III координатные четверти.

Ответ: II или III четверть.

4) $|\operatorname{tg} \alpha| > \operatorname{tg} \alpha$;

Решение: Неравенство вида $|x| > x$ справедливо тогда и только тогда, когда $x < 0$. В данном случае это означает, что $\operatorname{tg} \alpha < 0$. Тангенс угла ($\operatorname{tg} \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$) отрицателен, когда синус и косинус имеют разные знаки. Это происходит во II четверти (где $sin \alpha > 0$ и $cos \alpha < 0$) и в IV четверти (где $sin \alpha < 0$ и $cos \alpha > 0$).

Ответ: II или IV четверть.

5) $|\operatorname{ctg} \alpha| = \operatorname{ctg} \alpha$;

Решение: Равенство вида $|x| = x$ справедливо тогда и только тогда, когда $x \ge 0$. В данном случае это означает, что $\operatorname{ctg} \alpha \ge 0$. Котангенс угла ($\operatorname{ctg} \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}$) положителен, когда синус и косинус имеют одинаковые знаки. Это происходит в I четверти (где $sin \alpha > 0$ и $cos \alpha > 0$) и в III четверти (где $sin \alpha < 0$ и $cos \alpha < 0$).

Ответ: I или III четверть.

6) $|\operatorname{ctg} \alpha| < \operatorname{ctg} \alpha?$

Решение: Неравенство вида $|x| < x$ не имеет решений для любого действительного числа $x$, так как модуль числа никогда не может быть строго меньше самого числа.

- Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и неравенство принимает вид $x < x$, что является ложным.

- Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Так как $x$ отрицательно, то $-x$ положительно. Неравенство $-x < x$ ложно, так как положительное число не может быть меньше отрицательного.

Следовательно, не существует такого угла $\alpha$, для которого бы выполнялось данное условие.

Ответ: Таких углов не существует.