Объясните, страница 82, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Как из функций $f(u) = \sqrt{u}$ и $u = kx + b$; $u = ax^2 + bx + c$; $u = \frac{ax+b}{cx+d}$ получили новые функции: $f(x) = \sqrt{kx+b}$; $f(x) = \sqrt{ax^2+bx+c}$; $f(x) = \sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}$?

Новые функции $f(x)$ получены с помощью операции композиции функций, или создания сложной функции. Это означает, что одна функция (внутренняя, $u(x)$) подставляется в качестве аргумента в другую функцию (внешнюю, $f(u)$). В данном случае внешней функцией всегда является $f(u) = \sqrt{u}$, а в качестве внутренней функции $u$ последовательно выступают три разных выражения, зависящих от $x$. Процесс получения новой функции $f(x)$ заключается в подстановке выражения для $u$ в функцию $f(u)$.

$f(x) = \sqrt{kx+b}$

Даны внешняя функция $f(u) = \sqrt{u}$ и внутренняя функция $u = kx+b$. Чтобы получить итоговую функцию $f(x)$, мы заменяем аргумент $u$ в выражении $f(u)$ на выражение для $u(x)$.

Подставляем $kx+b$ вместо $u$ в $f(u) = \sqrt{u}$:

$f(x) = f(u(x)) = \sqrt{kx+b}$

Ответ: Функция $f(x) = \sqrt{kx+b}$ получена путем подстановки линейной функции $u = kx+b$ в качестве аргумента в функцию $f(u) = \sqrt{u}$.

$f(x) = \sqrt{ax^2+bx+c}$

Здесь внешняя функция та же: $f(u) = \sqrt{u}$. Внутренняя функция является квадратичной: $u = ax^2+bx+c$.

Выполняем подстановку: заменяем $u$ в выражении $\sqrt{u}$ на многочлен $ax^2+bx+c$.

$f(x) = f(u(x)) = \sqrt{ax^2+bx+c}$

Ответ: Функция $f(x) = \sqrt{ax^2+bx+c}$ получена путем подстановки квадратичной функции $u = ax^2+bx+c$ в качестве аргумента в функцию $f(u) = \sqrt{u}$.

$f(x) = \sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}$

Внешняя функция по-прежнему $f(u) = \sqrt{u}$. Внутренняя функция является дробно-линейной: $u = \frac{ax+b}{cx+d}$.

Подставляя выражение для $u(x)$ в $f(u)$, мы получаем искомую сложную функцию $f(x)$.

$f(x) = f(u(x)) = \sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}$

Ответ: Функция $f(x) = \sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}$ получена путем подстановки дробно-линейной функции $u = \frac{ax+b}{cx+d}$ в качестве аргумента в функцию $f(u) = \sqrt{u}$.