Номер 9.12, страница 81, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.12. Начертите эскиз графика функции $y = f(x)$, если функция:

1) $y = f(x)$ — четная, $x_{\text{min}} = 1$, $x_{\text{max}} = -3$, $f(-3) = 6$, $f(1) = -2$;

2) $y = f(x)$ — нечетная, $x_{\text{min}} = -3$, $x_{\text{max}} = -1$, $f(-3) = -2$, $f(-1) = 3$.

1) Для построения эскиза графика четной функции $y = f(x)$ воспользуемся ее свойствами. Свойство четной функции заключается в том, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Это означает, что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Из условия задачи нам известны следующие данные:

• Точка минимума при $x_{min} = 1$, значение функции в этой точке $f(1) = -2$. Следовательно, на графике есть точка $(1, -2)$, которая является локальным минимумом.

• Точка максимума при $x_{max} = -3$, значение функции в этой точке $f(-3) = 6$. Следовательно, на графике есть точка $(-3, 6)$, которая является локальным максимумом.

Используя свойство четности, найдем симметричные точки и экстремумы:

• Так как $f(1) = -2$ и функция четная, то $f(-1) = f(1) = -2$. Значит, точка $(-1, -2)$ также принадлежит графику. Поскольку $x = 1$ — точка минимума, то из-за симметрии $x = -1$ также будет точкой минимума.

• Так как $f(-3) = 6$ и функция четная, то $f(3) = f(-3) = 6$. Значит, точка $(3, 6)$ также принадлежит графику. Поскольку $x = -3$ — точка максимума, то из-за симметрии $x = 3$ также будет точкой максимума.

Таким образом, у нас есть четыре ключевые точки-экстремума: локальные максимумы в $(-3, 6)$ и $(3, 6)$, и локальные минимумы в $(-1, -2)$ и $(1, -2)$. Для непрерывной четной функции, имеющей минимумы в точках $x=-1$ и $x=1$, можно предположить наличие локального максимума в точке $x=0$.

Эскиз графика можно построить следующим образом: нанесите на координатную плоскость точки максимумов $(-3, 6)$, $(3, 6)$ и точки минимумов $(-1, -2)$, $(1, -2)$. Соедините их плавной кривой, симметричной относительно оси Y. На интервале $(-3, -1)$ функция убывает от $6$ до $-2$. На интервале $(-1, 0)$ функция возрастает от $-2$ до некоторого локального максимума на оси Y. На интервале $(0, 1)$ функция симметрично убывает до $-2$. На интервале $(1, 3)$ функция возрастает от $-2$ до $6$.

Ответ: Эскиз представляет собой симметричную относительно оси Y кривую. Ключевые точки: локальные максимумы в точках $(-3, 6)$ и $(3, 6)$, локальные минимумы в точках $(-1, -2)$ и $(1, -2)$. На оси Y в точке $(0, f(0))$ также находится локальный максимум.

2) Для построения эскиза графика нечетной функции $y = f(x)$ воспользуемся ее свойствами. Свойство нечетной функции заключается в том, что ее график симметричен относительно начала координат $(0, 0)$. Это означает, что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Если функция определена в нуле, то $f(0) = 0$.

Из условия задачи нам известны следующие данные:

• Точка минимума при $x_{min} = -3$, значение функции в этой точке $f(-3) = -2$. Следовательно, на графике есть точка $(-3, -2)$, которая является локальным минимумом.

• Точка максимума при $x_{max} = -1$, значение функции в этой точке $f(-1) = 3$. Следовательно, на графике есть точка $(-1, 3)$, которая является локальным максимумом.

Используя свойство нечетности, найдем симметричные точки и экстремумы:

• Так как $f(-3) = -2$ и функция нечетная, то $f(3) = -f(-3) = -(-2) = 2$. Значит, точка $(3, 2)$ также принадлежит графику. Если в $x_0$ у нечетной функции минимум, то в $-x_0$ будет максимум. Следовательно, $x=3$ — точка локального максимума.

• Так как $f(-1) = 3$ и функция нечетная, то $f(1) = -f(-1) = -3$. Значит, точка $(1, -3)$ также принадлежит графику. Если в $x_0$ у нечетной функции максимум, то в $-x_0$ будет минимум. Следовательно, $x=1$ — точка локального минимума.

• График нечетной функции проходит через начало координат, точку $(0, 0)$.

Таким образом, у нас есть ключевые точки: локальные минимумы в $(-3, -2)$ и $(1, -3)$, локальные максимумы в $(-1, 3)$ и $(3, 2)$, и точка $(0, 0)$.

Эскиз графика можно построить следующим образом: нанесите на координатную плоскость все найденные точки. Соедините их плавной кривой, симметричной относительно начала координат. На интервале $(-3, -1)$ функция возрастает от $-2$ до $3$. На интервале $(-1, 1)$ функция убывает от $3$ до $-3$, проходя через начало координат. На интервале $(1, 3)$ функция возрастает от $-3$ до $2$.

Ответ: Эскиз представляет собой кривую, симметричную относительно начала координат. Ключевые точки: локальный минимум в $(-3, -2)$, локальный максимум в $(-1, 3)$, точка $(0, 0)$, локальный минимум в $(1, -3)$ и локальный максимум в $(3, 2)$.