Номер 9.9, страница 81, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.9. По алгоритму исследуйте функцию и постройте ее график:

1) $y = -x^2 + 3x + 2;$

2) $y = 3x^2 + 6x - 4;$

3) $y = 2 + \frac{2}{x - 1};$

4) $y = 3 - \frac{2}{x - 1};$

5) $y = -3 + \frac{1}{x + 2};$

6) $y = -2 - \frac{2}{2x - 5}.

1) $y = -x^2 + 3x + 2$

Это квадратичная функция, график которой — парабола.

1. Область определения. Функция определена для всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Вершина параболы и направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен $a=-1 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Найдем координаты вершины $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot (-1)} = \frac{3}{2} = 1.5$.

$y_v = y(1.5) = -(1.5)^2 + 3(1.5) + 2 = -2.25 + 4.5 + 2 = 4.25$.

Вершина параболы находится в точке $(1.5; 4.25)$. Ось симметрии — прямая $x = 1.5$.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью OY (при $x=0$): $y(0) = -0^2 + 3 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка пересечения: $(0; 2)$.

- С осью OX (при $y=0$): $-x^2 + 3x + 2 = 0$, или $x^2 - 3x - 2 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-2) = 9+8=17$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$.

Точки пересечения: $(\frac{3 - \sqrt{17}}{2}; 0) \approx (-0.56; 0)$ и $(\frac{3 + \sqrt{17}}{2}; 0) \approx (3.56; 0)$.

4. Область значений. Так как ветви направлены вниз, а максимальное значение достигается в вершине, $E(y) = (-\infty; 4.25]$.

5. Промежутки монотонности. Функция возрастает до вершины и убывает после нее.

- Возрастает на $(-\infty; 1.5]$.

- Убывает на $[1.5; +\infty)$.

Для построения графика отметим вершину $(1.5; 4.25)$, точки пересечения с осями $(0; 2)$, $(\approx -0.56; 0)$, $(\approx 3.56; 0)$ и точку, симметричную $(0; 2)$ относительно оси $x=1.5$, — это точка $(3; 2)$. Соединим точки плавной кривой.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(1.5; 4.25)$ и ветвями, направленными вниз. Пересечение с осью OY: $(0; 2)$. Пересечение с осью OX: $(\frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}; 0)$. Функция возрастает на $(-\infty; 1.5]$ и убывает на $[1.5; +\infty)$.

2) $y = 3x^2 + 6x - 4$

Это квадратичная функция, график которой — парабола.

1. Область определения. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Вершина параболы и направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен $a=3 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Найдем координаты вершины $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 3} = -1$.

$y_v = y(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) - 4 = 3 - 6 - 4 = -7$.

Вершина параболы находится в точке $(-1; -7)$. Ось симметрии — прямая $x = -1$.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью OY (при $x=0$): $y(0) = 3 \cdot 0^2 + 6 \cdot 0 - 4 = -4$. Точка пересечения: $(0; -4)$.

- С осью OX (при $y=0$): $3x^2 + 6x - 4 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(3)(-4) = 36+48=84$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{84}}{6} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{21}}{6} = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{3}$.

Точки пересечения: $(\frac{-3 - \sqrt{21}}{3}; 0) \approx (-2.53; 0)$ и $(\frac{-3 + \sqrt{21}}{3}; 0) \approx (0.53; 0)$.

4. Область значений. Так как ветви направлены вверх, а минимальное значение достигается в вершине, $E(y) = [-7; +\infty)$.

5. Промежутки монотонности. Функция убывает до вершины и возрастает после нее.

- Убывает на $(-\infty; -1]$.

- Возрастает на $[-1; +\infty)$.

Для построения графика отметим вершину $(-1; -7)$, точки пересечения с осями $(0; -4)$, $(\approx -2.53; 0)$, $(\approx 0.53; 0)$ и точку, симметричную $(0; -4)$ относительно оси $x=-1$, — это точка $(-2; -4)$. Соединим точки плавной кривой.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(-1; -7)$ и ветвями, направленными вверх. Пересечение с осью OY: $(0; -4)$. Пересечение с осью OX: $(\frac{-3 \pm \sqrt{21}}{3}; 0)$. Функция убывает на $(-\infty; -1]$ и возрастает на $[-1; +\infty)$.

3) $y = 2 + \frac{2}{x - 1}$

Это дробно-линейная функция, график которой — гипербола.

1. Область определения. Знаменатель не может быть равен нулю: $x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

$D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Асимптоты.

- Вертикальная асимптота: прямая $x = 1$.

- Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$ дробь $\frac{2}{x-1} \to 0$, поэтому $y \to 2$. Прямая $y=2$.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью OY (при $x=0$): $y = 2 + \frac{2}{0 - 1} = 2 - 2 = 0$. Точка пересечения: $(0; 0)$.

- С осью OX (при $y=0$): $0 = 2 + \frac{2}{x - 1} \implies -2 = \frac{2}{x - 1} \implies -2(x-1) = 2 \implies x-1 = -1 \implies x=0$. Точка пересечения: $(0; 0)$.

4. Промежутки монотонности. Найдем производную: $y' = (2 + 2(x-1)^{-1})' = -2(x-1)^{-2} = -\frac{2}{(x-1)^2}$. Так как $(x-1)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $y' < 0$. Следовательно, функция убывает на всей области определения, то есть на промежутках $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

5. Расположение ветвей. Так как коэффициент при дроби (2) положителен, ветви гиперболы расположены в 1-й и 3-й четвертях относительно центра симметрии $(1; 2)$.

Для построения графика чертим асимптоты $x=1$ и $y=2$. Отмечаем точку $(0; 0)$. Возьмем еще контрольные точки: при $x=2, y = 2 + \frac{2}{2-1} = 4$; при $x=3, y = 2 + \frac{2}{3-1} = 3$. Строим ветви гиперболы, приближающиеся к асимптотам.

Ответ: Графиком функции является гипербола с вертикальной асимптотой $x=1$ и горизонтальной асимптотой $y=2$. График проходит через начало координат $(0; 0)$. Функция убывает на промежутках $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

4) $y = 3 - \frac{2}{x - 1}$

Это дробно-линейная функция, график которой — гипербола.

1. Область определения. $x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

$D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Асимптоты.

- Вертикальная асимптота: $x = 1$.

- Горизонтальная асимптота: $y = 3$.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью OY (при $x=0$): $y = 3 - \frac{2}{0-1} = 3 + 2 = 5$. Точка пересечения: $(0; 5)$.

- С осью OX (при $y=0$): $0 = 3 - \frac{2}{x-1} \implies 3 = \frac{2}{x-1} \implies 3(x-1) = 2 \implies 3x-3 = 2 \implies 3x=5 \implies x = \frac{5}{3}$. Точка пересечения: $(\frac{5}{3}; 0)$.

4. Промежутки монотонности. Производная: $y' = (3 - 2(x-1)^{-1})' = 2(x-1)^{-2} = \frac{2}{(x-1)^2}$. Так как $y' > 0$ на всей области определения, функция возрастает на промежутках $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

5. Расположение ветвей. Можно представить функцию как $y = 3 + \frac{-2}{x-1}$. Коэффициент при дроби (-2) отрицателен, ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях относительно центра симметрии $(1; 3)$.

Для построения графика чертим асимптоты $x=1$ и $y=3$. Отмечаем точки $(0; 5)$ и $(\frac{5}{3}; 0)$. Возьмем контрольные точки: при $x=2, y = 3 - \frac{2}{2-1} = 1$; при $x=-1, y = 3 - \frac{2}{-1-1} = 4$. Строим ветви гиперболы.

Ответ: Графиком функции является гипербола с асимптотами $x=1$ и $y=3$. Точки пересечения с осями: $(0; 5)$ и $(\frac{5}{3}; 0)$. Функция возрастает на промежутках $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

5) $y = -3 + \frac{1}{x + 2}$

Это дробно-линейная функция, график которой — гипербола.

1. Область определения. $x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

$D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2. Асимптоты.

- Вертикальная асимптота: $x = -2$.

- Горизонтальная асимптота: $y = -3$.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью OY (при $x=0$): $y = -3 + \frac{1}{0+2} = -3 + 0.5 = -2.5$. Точка пересечения: $(0; -2.5)$.

- С осью OX (при $y=0$): $0 = -3 + \frac{1}{x+2} \implies 3 = \frac{1}{x+2} \implies 3(x+2) = 1 \implies 3x+6=1 \implies 3x=-5 \implies x = -\frac{5}{3}$. Точка пересечения: $(-\frac{5}{3}; 0)$.

4. Промежутки монотонности. Производная: $y' = (-3 + (x+2)^{-1})' = -(x+2)^{-2} = -\frac{1}{(x+2)^2}$. Так как $y' < 0$ на всей области определения, функция убывает на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$.

5. Расположение ветвей. Коэффициент при дроби (1) положителен, ветви расположены в 1-й и 3-й четвертях относительно центра симметрии $(-2; -3)$.

Для построения графика чертим асимптоты $x=-2$ и $y=-3$. Отмечаем точки $(0; -2.5)$ и $(-\frac{5}{3}; 0)$. Возьмем контрольные точки: при $x=-1, y = -3 + \frac{1}{-1+2} = -2$; при $x=-3, y = -3 + \frac{1}{-3+2} = -4$. Строим ветви гиперболы.

Ответ: Графиком функции является гипербола с асимптотами $x=-2$ и $y=-3$. Точки пересечения с осями: $(0; -2.5)$ и $(-\frac{5}{3}; 0)$. Функция убывает на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$.

6) $y = -2 - \frac{2}{2x - 5}$

Это дробно-линейная функция, график которой — гипербола.

1. Область определения. $2x - 5 \neq 0 \implies 2x \neq 5 \implies x \neq 2.5$.

$D(y) = (-\infty; 2.5) \cup (2.5; +\infty)$.

2. Асимптоты.

- Вертикальная асимптота: $x = 2.5$.

- Горизонтальная асимптота: $y = -2$.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью OY (при $x=0$): $y = -2 - \frac{2}{2(0)-5} = -2 - \frac{2}{-5} = -2 + 0.4 = -1.6$. Точка пересечения: $(0; -1.6)$.

- С осью OX (при $y=0$): $0 = -2 - \frac{2}{2x-5} \implies 2 = -\frac{2}{2x-5} \implies 2(2x-5) = -2 \implies 2x-5 = -1 \implies 2x=4 \implies x = 2$. Точка пересечения: $(2; 0)$.

4. Промежутки монотонности. Производная: $y' = (-2 - 2(2x-5)^{-1})' = 2(2x-5)^{-2} \cdot 2 = \frac{4}{(2x-5)^2}$. Так как $y' > 0$ на всей области определения, функция возрастает на промежутках $(-\infty; 2.5)$ и $(2.5; +\infty)$.

5. Расположение ветвей. Коэффициент перед дробью (-1) и коэффициент перед x в знаменателе (2) влияют на расположение. Функция вида $y = -2 + \frac{-2}{2x-5}$. Ветви расположены во 2-й и 4-й четвертях относительно центра симметрии $(2.5; -2)$.

Для построения графика чертим асимптоты $x=2.5$ и $y=-2$. Отмечаем точки $(0; -1.6)$ и $(2; 0)$. Возьмем контрольные точки: при $x=3, y = -2 - \frac{2}{2(3)-5} = -2 - 2 = -4$; при $x=2, y = -2 - \frac{2}{2(2)-5} = -2 - \frac{2}{-1} = 0$, что совпадает с нулем функции. Строим ветви гиперболы.

Ответ: Графиком функции является гипербола с асимптотами $x=2.5$ и $y=-2$. Точки пересечения с осями: $(0; -1.6)$ и $(2; 0)$. Функция возрастает на промежутках $(-\infty; 2.5)$ и $(2.5; +\infty)$.