Номер 9.5, страница 80, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.5. Найдите наибольшее значение функции и значение аргумента, при котором оно достигается:

1) $y = 3 - |x + 5|;$

2) $y = 4 - |x - 2|;$

3) $y = 3 - \sqrt{x - 2};$

4) $y = 1 - \sqrt{x + 1}.$

1) Дана функция $y = 3 - |x + 5|$. Выражение $|x + 5|$ по определению модуля является неотрицательной величиной, то есть $|x + 5| \ge 0$ для любого значения $x$. Чтобы найти наибольшее значение функции $y$, необходимо из числа 3 вычесть наименьшее возможное значение выражения $|x + 5|$. Наименьшее значение модуля равно 0. Оно достигается в том случае, когда выражение под знаком модуля равно нулю: $x + 5 = 0$, что дает $x = -5$. Таким образом, наибольшее значение функции равно $y_{max} = 3 - 0 = 3$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 3 при $x = -5$.

2) Дана функция $y = 4 - |x - 2|$. Аналогично первому пункту, выражение $|x - 2|$ всегда неотрицательно: $|x - 2| \ge 0$. Функция $y$ достигает своего наибольшего значения, когда вычитаемое $|x - 2|$ принимает свое наименьшее значение. Наименьшее значение $|x - 2|$ равно 0. Это происходит, когда $x - 2 = 0$, то есть при $x = 2$. В этой точке наибольшее значение функции составляет $y_{max} = 4 - 0 = 4$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 4 при $x = 2$.

3) Дана функция $y = 3 - \sqrt{x - 2}$. Сначала найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$. Арифметический квадратный корень $\sqrt{x - 2}$ также всегда принимает неотрицательные значения: $\sqrt{x - 2} \ge 0$. Чтобы значение функции $y$ было наибольшим, нужно из 3 вычесть наименьшее возможное значение выражения $\sqrt{x - 2}$. Наименьшее значение корня равно 0 и достигается при наименьшем возможном значении $x$ из области определения, то есть при $x = 2$. При $x = 2$ имеем $\sqrt{2 - 2} = 0$. Следовательно, наибольшее значение функции равно $y_{max} = 3 - 0 = 3$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 3 при $x = 2$.

4) Дана функция $y = 1 - \sqrt{x + 1}$. Область определения функции задается условием $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. Значение выражения $\sqrt{x + 1}$ всегда неотрицательно: $\sqrt{x + 1} \ge 0$. Функция $y$ принимает наибольшее значение, когда вычитаемое $\sqrt{x + 1}$ имеет наименьшее значение. Наименьшее значение корня равно 0. Оно достигается при $x + 1 = 0$, то есть при $x = -1$. В этой точке наибольшее значение функции составляет $y_{max} = 1 - 0 = 1$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 1 при $x = -1$.