Номер 9.8, страница 81, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.8. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции:

1) $y = x^2 - 5x + 2$ на промежутке $[1; 4];

2) $y = -x^2 + 2x + 1$ на промежутке $[-1; 5];

3) $y = 2x^2 + 4x - 3$ на промежутке $[-3; 1].

1) Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции $y = x^2 - 5x + 2$ на промежутке $[1; 4]$ необходимо найти значение функции в вершине параболы и на концах заданного промежутка.

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 ($a=1$), что больше нуля, поэтому ветви параболы направлены вверх. Следовательно, в вершине параболы функция достигает своего наименьшего значения.

Найдем координату вершины по оси абсцисс по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2} = 2.5$

Так как $x_0 = 2.5$ принадлежит промежутку $[1; 4]$, наименьшее значение функции на этом отрезке будет равно значению функции в точке $x_0 = 2.5$.

$y_{наим} = y(2.5) = (2.5)^2 - 5(2.5) + 2 = 6.25 - 12.5 + 2 = -4.25$

Наибольшее значение на отрезке функция принимает на одном из его концов. Вычислим значения функции в точках $x=1$ и $x=4$:

$y(1) = 1^2 - 5(1) + 2 = 1 - 5 + 2 = -2$

$y(4) = 4^2 - 5(4) + 2 = 16 - 20 + 2 = -2$

Сравнивая значения на концах отрезка, находим наибольшее: $y_{наиб} = -2$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -4.25, наибольшее значение функции равно -2.

2) Для функции $y = -x^2 + 2x + 1$ на промежутке $[-1; 5]$.

Это парабола с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a=-1 < 0$). Следовательно, в вершине параболы функция достигает своего наибольшего значения.

Найдем координату вершины по оси абсцисс:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$

Так как $x_0 = 1$ принадлежит промежутку $[-1; 5]$, наибольшее значение функции на этом отрезке будет равно значению функции в точке $x_0 = 1$.

$y_{наиб} = y(1) = -(1)^2 + 2(1) + 1 = -1 + 2 + 1 = 2$

Наименьшее значение функция принимает на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции в точках $x=-1$ и $x=5$:

$y(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -1 - 2 + 1 = -2$

$y(5) = -(5)^2 + 2(5) + 1 = -25 + 10 + 1 = -14$

Сравнивая значения $y(-1)=-2$ и $y(5)=-14$, находим наименьшее: $y_{наим} = -14$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -14, наибольшее значение функции равно 2.

3) Для функции $y = 2x^2 + 4x - 3$ на промежутке $[-3; 1]$.

Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=2 > 0$), поэтому в вершине параболы функция достигает своего наименьшего значения.

Найдем координату вершины по оси абсцисс:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1$

Так как $x_0 = -1$ принадлежит промежутку $[-3; 1]$, наименьшее значение функции на этом отрезке будет равно значению функции в точке $x_0 = -1$.

$y_{наим} = y(-1) = 2(-1)^2 + 4(-1) - 3 = 2 - 4 - 3 = -5$

Наибольшее значение функция принимает на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции в точках $x=-3$ и $x=1$:

$y(-3) = 2(-3)^2 + 4(-3) - 3 = 2 \cdot 9 - 12 - 3 = 18 - 15 = 3$

$y(1) = 2(1)^2 + 4(1) - 3 = 2 + 4 - 3 = 3$

Сравнивая значения на концах отрезка, находим наибольшее: $y_{наиб} = 3$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -5, наибольшее значение функции равно 3.