Номер 9.3, страница 80, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.3. Докажите, что функция:

1) $f(x) = 3x - 5$ возрастает на $R$;

2) $f(x) = 4 - 2x$ убывает на $R$;

3) $f(x) = 3x^2 - 5$ возрастает на $[0; +\infty)$;

4) $f(x) = 1 - x^2$ убывает на $[0; +\infty)$.

1) Для доказательства того, что функция $f(x) = 3x - 5$ возрастает на $R$, воспользуемся определением возрастающей функции. Функция называется возрастающей на множестве, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Пусть $x_1 \in R$ и $x_2 \in R$, причем $x_2 > x_1$.

Рассмотрим разность значений функции в этих точках:

$f(x_2) - f(x_1) = (3x_2 - 5) - (3x_1 - 5) = 3x_2 - 5 - 3x_1 + 5 = 3x_2 - 3x_1 = 3(x_2 - x_1)$.

Поскольку по условию $x_2 > x_1$, то разность $x_2 - x_1$ является положительным числом, то есть $x_2 - x_1 > 0$.

Произведение положительного числа 3 на положительное число $(x_2 - x_1)$ также положительно: $3(x_2 - x_1) > 0$.

Следовательно, $f(x_2) - f(x_1) > 0$, что эквивалентно $f(x_2) > f(x_1)$.

Так как это неравенство выполняется для любых $x_1, x_2$ из $R$ при $x_2 > x_1$, то функция $f(x) = 3x - 5$ является возрастающей на $R$.

Ответ: что и требовалось доказать.

2) Для доказательства того, что функция $f(x) = 4 - 2x$ убывает на $R$, воспользуемся определением убывающей функции. Функция называется убывающей на множестве, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$.

Пусть $x_1 \in R$ и $x_2 \in R$, причем $x_2 > x_1$.

Рассмотрим разность значений функции в этих точках:

$f(x_2) - f(x_1) = (4 - 2x_2) - (4 - 2x_1) = 4 - 2x_2 - 4 + 2x_1 = 2x_1 - 2x_2 = -2(x_2 - x_1)$.

Поскольку по условию $x_2 > x_1$, то разность $x_2 - x_1$ является положительным числом: $x_2 - x_1 > 0$.

Произведение отрицательного числа -2 на положительное число $(x_2 - x_1)$ является отрицательным числом: $-2(x_2 - x_1) < 0$.

Следовательно, $f(x_2) - f(x_1) < 0$, что эквивалентно $f(x_2) < f(x_1)$.

Это доказывает, что функция $f(x) = 4 - 2x$ является убывающей на $R$.

Ответ: что и требовалось доказать.

3) Для доказательства того, что функция $f(x) = 3x^2 - 5$ возрастает на промежутке $[0; +\infty)$, возьмем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, такие что $x_2 > x_1$. Это означает, что $x_1 \ge 0$ и $x_2 \ge 0$.

Рассмотрим разность $f(x_2) - f(x_1)$:

$f(x_2) - f(x_1) = (3x_2^2 - 5) - (3x_1^2 - 5) = 3x_2^2 - 3x_1^2 = 3(x_2^2 - x_1^2)$.

Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем:

$3(x_2^2 - x_1^2) = 3(x_2 - x_1)(x_2 + x_1)$.

Проанализируем знаки множителей в полученном выражении:

1. $3 > 0$.

2. Так как $x_2 > x_1$, то $x_2 - x_1 > 0$.

3. Так как $x_1 \ge 0$, $x_2 > x_1$, то $x_2 > 0$. Сумма двух неотрицательных чисел, из которых хотя бы одно положительно, является положительным числом: $x_2 + x_1 > 0$.

Произведение трех положительных множителей положительно, значит $3(x_2 - x_1)(x_2 + x_1) > 0$.

Таким образом, $f(x_2) - f(x_1) > 0$, откуда $f(x_2) > f(x_1)$.

Следовательно, функция $f(x) = 3x^2 - 5$ возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Ответ: что и требовалось доказать.

4) Для доказательства того, что функция $f(x) = 1 - x^2$ убывает на промежутке $[0; +\infty)$, возьмем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, такие что $x_2 > x_1$. Это означает, что $x_1 \ge 0$ и $x_2 \ge 0$.

Рассмотрим разность $f(x_2) - f(x_1)$:

$f(x_2) - f(x_1) = (1 - x_2^2) - (1 - x_1^2) = 1 - x_2^2 - 1 + x_1^2 = x_1^2 - x_2^2 = -(x_2^2 - x_1^2)$.

Используя формулу разности квадратов, получаем:

$-(x_2^2 - x_1^2) = -(x_2 - x_1)(x_2 + x_1)$.

Проанализируем знаки множителей в полученном выражении:

1. Так как $x_2 > x_1$, то $x_2 - x_1 > 0$.

2. Так как $x_1 \ge 0$ и $x_2 > 0$, то их сумма $x_2 + x_1 > 0$.

Произведение двух положительных множителей $(x_2 - x_1)(x_2 + x_1)$ положительно.

Следовательно, выражение $-(x_2 - x_1)(x_2 + x_1)$ будет отрицательным.

Таким образом, $f(x_2) - f(x_1) < 0$, откуда $f(x_2) < f(x_1)$.

Это доказывает, что функция $f(x) = 1 - x^2$ убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

Ответ: что и требовалось доказать.