Номер 8.14, страница 76, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.14.1) $y = \left|\frac{1-2x}{2x-2}\right|$;

2) $y = \left|\frac{4x+1}{1-2x}\right|$;

3) $y = \left|\frac{3-4x}{2x+1}\right|$;

4) $y = \left|\frac{2x-5}{3-2x}\right|$.

1)Чтобы найти область значений функции $y=|\frac{1-2x}{2x-2}|$, сначала определим область значений выражения под модулем, то есть функции $f(x) = \frac{1-2x}{2x-2}$.Эта функция является дробно-линейной. Ее область определения $D(f)$ — это все действительные числа, для которых знаменатель не равен нулю: $2x-2 \neq 0$, что означает $x \neq 1$.Для нахождения области значений $E(f)$ выразим $x$ через $y_f$, где $y_f = f(x)$:$y_f = \frac{1-2x}{2x-2}$$y_f(2x-2) = 1-2x$$2xy_f - 2y_f = 1-2x$$2xy_f + 2x = 1+2y_f$$x(2y_f+2) = 1+2y_f$$x = \frac{1+2y_f}{2y_f+2}$Данное выражение для $x$ определено при любом значении $y_f$, кроме того, при котором знаменатель обращается в ноль: $2y_f+2 \neq 0$, то есть $y_f \neq -1$.Следовательно, область значений функции $f(x)$ — это множество всех действительных чисел, кроме $-1$, то есть $E(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; \infty)$.Исходная функция $y = |f(x)|$. Поскольку $f(x)$ может принимать любые значения, кроме $-1$, $y$ будет принимать значения $|f(x)|$.Так как $y$ — это модуль числа, $y \ge 0$. Проверим, может ли $y$ принять любое неотрицательное значение $k$.Для этого уравнение $|f(x)|=k$ должно иметь решение. Это равносильно совокупности уравнений:$f(x) = k$ или $f(x) = -k$.Решение существует, если хотя бы одно из чисел $k$ или $-k$ принадлежит области значений $f(x)$, то есть множеству $(-\infty; -1) \cup (-1; \infty)$.Для любого $k \ge 0$, утверждение $k \neq -1$ всегда истинно. Следовательно, уравнение $f(x)=k$ всегда имеет решение.Таким образом, $y$ может принять любое значение $k \ge 0$.

Ответ: $y \in [0; +\infty)$.

2)Рассмотрим функцию $y=|\frac{4x+1}{1-2x}|$. Найдем область значений $E(y)$.Поскольку $y$ — это значение модуля, $y \ge 0$.Рассмотрим внутреннюю функцию $g(x) = \frac{4x+1}{1-2x}$. Ее область определения: $1-2x \neq 0$, то есть $x \neq 0.5$.Найдем область значений $E(g)$. Пусть $z = g(x)$. Выразим $x$ через $z$:$z = \frac{4x+1}{1-2x}$$z(1-2x) = 4x+1$$z - 2zx = 4x+1$$z-1 = 4x+2zx$$z-1 = x(4+2z)$$x = \frac{z-1}{4+2z}$Знаменатель не должен быть равен нулю: $4+2z \neq 0$, откуда $z \neq -2$.Значит, область значений $g(x)$ есть $E(g) = (-\infty; -2) \cup (-2; \infty)$.Область значений исходной функции $y=|g(x)|$ — это множество $\{|z| \mid z \in E(g)\}$.Для любого неотрицательного числа $k$, уравнение $|g(x)|=k$ будет иметь решение, если $g(x)=k$ или $g(x)=-k$ имеет решение.Это возможно, если $k \in E(g)$ или $-k \in E(g)$.То есть, если $k \neq -2$ или $-k \neq -2$.Для любого $k \ge 0$ условие $k \neq -2$ всегда истинно.Следовательно, $y$ может принимать любое неотрицательное значение.

Ответ: $y \in [0; +\infty)$.

3)Рассмотрим функцию $y=|\frac{3-4x}{2x+1}|$. Найдем ее область значений.Так как $y$ является модулем, $y \ge 0$.Рассмотрим функцию под знаком модуля $h(x) = \frac{3-4x}{2x+1}$. Область определения: $2x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -0.5$.Найдем область значений $E(h)$. Пусть $z = h(x)$. Выразим $x$ через $z$:$z = \frac{3-4x}{2x+1}$$z(2x+1) = 3-4x$$2zx + z = 3-4x$$2zx + 4x = 3-z$$x(2z+4) = 3-z$$x = \frac{3-z}{2z+4}$Знаменатель не должен быть равен нулю: $2z+4 \neq 0$, откуда $z \neq -2$.Область значений $h(x)$ есть $E(h) = (-\infty; -2) \cup (-2; \infty)$.Область значений $y=|h(x)|$ — это множество $\{|z| \mid z \in E(h)\}$.Для любого $k \ge 0$ рассмотрим уравнение $|h(x)|=k$. Оно равносильно совокупности $h(x)=k$ или $h(x)=-k$.Решение существует, если $k \in E(h)$ или $-k \in E(h)$, то есть $k \neq -2$ или $-k \neq -2$.Поскольку $k \ge 0$, то $k \neq -2$ всегда верно.Это значит, что $y$ может принимать любое неотрицательное значение.

Ответ: $y \in [0; +\infty)$.

4)Рассмотрим функцию $y=|\frac{2x-5}{3-2x}|$. Найдем ее область значений.Значения функции $y$ неотрицательны, то есть $y \ge 0$.Рассмотрим внутреннюю функцию $k(x) = \frac{2x-5}{3-2x}$. Область определения: $3-2x \neq 0$, то есть $x \neq 1.5$.Найдем область значений $E(k)$. Пусть $z = k(x)$. Выразим $x$ через $z$:$z = \frac{2x-5}{3-2x}$$z(3-2x) = 2x-5$$3z - 2zx = 2x-5$$3z+5 = 2x+2zx$$3z+5 = x(2+2z)$$x = \frac{3z+5}{2z+2}$Знаменатель не должен быть равен нулю: $2z+2 \neq 0$, откуда $z \neq -1$.Область значений $k(x)$ есть $E(k) = (-\infty; -1) \cup (-1; \infty)$.Область значений $y=|k(x)|$ — это множество $\{|z| \mid z \in E(k)\}$.Для любого $k \ge 0$, уравнение $|k(x)|=k$ равносильно $k(x)=k$ или $k(x)=-k$.Решение существует, если $k \in E(k)$ или $-k \in E(k)$, то есть $k \neq -1$ или $-k \neq -1$.Для любого $k \ge 0$, условие $k \neq -1$ всегда истинно.Следовательно, $y$ может принимать любое неотрицательное значение.

Ответ: $y \in [0; +\infty)$.