Номер 8.8, страница 75, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.8.Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{|x-2|}$; 2) $y = \frac{1}{|x-3|}$; 3) $y = |\frac{1}{x+2}|$; 4) $y = |\frac{1}{2x-3}|$.

1) Для построения графика функции $y=\frac{1}{|x-2|}$ воспользуемся методом преобразования графиков. Заметим, что поскольку числитель $1 > 0$, а знаменатель $|x-2| \ge 0$, то вся функция принимает только положительные значения ($y>0$). Также можно записать функцию как $y=|\frac{1}{x-2}|$, так как $\frac{1}{|a|} = |\frac{1}{a}|$.

Построение графика будет происходить в несколько шагов:

1. Сначала построим график базовой функции — гиперболы $y=\frac{1}{x}$. Её ветви расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты графика — оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$.

2. Затем построим график функции $y=\frac{1}{x-2}$. Он получается из графика $y=\frac{1}{x}$ путем сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота сместится и станет прямой $x=2$. Горизонтальная асимптота $y=0$ останется без изменений. Ветви гиперболы будут располагаться относительно новых асимптот так же, как и у исходной функции, то есть в "новых" I и III четвертях.

3. На последнем шаге построим график искомой функции $y=|\frac{1}{x-2}|$. Для этого необходимо ту часть графика $y=\frac{1}{x-2}$, которая лежит ниже оси абсцисс (где $y<0$), отразить симметрично относительно этой оси. Часть графика, лежащая ниже оси Ox, соответствует значениям $x<2$. Часть графика, где $x>2$, уже находится выше оси Ox, поэтому она останется без изменений.

В результате получим график, состоящий из двух ветвей. Обе ветви расположены в верхней полуплоскости ($y>0$). Они симметричны относительно вертикальной асимптоты $x=2$. При $x \to 2$ с любой стороны, $y \to +\infty$. При $x \to \pm\infty$, $y \to 0$. Контрольные точки: при $x=3$, $y=1$; при $x=1$, $y=1$. При $x=0$, $y=0.5$.

Ответ: График функции представляет собой две ветви, расположенные в верхней полуплоскости. График имеет вертикальную асимптоту $x=2$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. График симметричен относительно прямой $x=2$.

2) Построение графика функции $y=\frac{1}{|x-3|}$ аналогично предыдущему пункту. Эта функция также может быть записана как $y=|\frac{1}{x-3}|$. Область значений функции — $y>0$.

Построение графика выполним поэтапно:

1. Строим график гиперболы $y=\frac{1}{x}$.

2. Сдвигаем график $y=\frac{1}{x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox, чтобы получить график функции $y=\frac{1}{x-3}$. Вертикальной асимптотой этого графика будет прямая $x=3$, а горизонтальной — прямая $y=0$.

3. Для получения графика $y=|\frac{1}{x-3}|$ отражаем часть графика $y=\frac{1}{x-3}$, расположенную под осью Ox (при $x<3$), симметрично относительно оси Ox. Часть графика при $x>3$ остается на месте, так как там $y>0$.

Итоговый график состоит из двух ветвей, которые находятся над осью Ox. График имеет вертикальную асимптоту $x=3$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. Он симметричен относительно прямой $x=3$. Контрольные точки: при $x=4$, $y=1$; при $x=2$, $y=1$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, расположенных выше оси абсцисс. Вертикальная асимптота — прямая $x=3$, горизонтальная асимптота — прямая $y=0$. График симметричен относительно прямой $x=3$.

3) Построим график функции $y=|\frac{1}{x+2}|$. Данное выражение эквивалентно $y=\frac{1}{|x+2|}$. Построение также проведем с помощью преобразований.

1. Начинаем с графика гиперболы $y=\frac{1}{x}$.

2. Строим график функции $y=\frac{1}{x+2}$. Он получается из графика $y=\frac{1}{x}$ сдвигом на 2 единицы влево вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота теперь $x=-2$, горизонтальная асимптота — $y=0$.

3. Далее строим график $y=|\frac{1}{x+2}|$. Для этого часть графика $y=\frac{1}{x+2}$, находящуюся под осью Ox (что соответствует $x<-2$), отражаем симметрично относительно оси Ox. Часть графика при $x>-2$ не изменяется.

Полученный график состоит из двух ветвей, обе находятся в верхней полуплоскости. Вертикальная асимптота — $x=-2$, горизонтальная — $y=0$. График симметричен относительно прямой $x=-2$. Контрольные точки: при $x=-1$, $y=1$; при $x=-3$, $y=1$.

Ответ: График функции представляет собой две ветви, лежащие над осью Ox, с вертикальной асимптотой $x=-2$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. График симметричен относительно прямой $x=-2$.

4) Построим график функции $y=|\frac{1}{2x-3}|$. Сначала проанализируем функцию внутри модуля: $y_1 = \frac{1}{2x-3}$.

Построение будет следующим:

1. Возьмем за основу график $y=\frac{1}{x}$.

2. Преобразуем выражение $y_1 = \frac{1}{2x-3}$ к виду $y_1 = \frac{1}{2(x-1.5)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x-1.5}$. Это означает, что для построения графика $y_1$ нужно график $y=\frac{1}{x}$ сдвинуть на 1.5 единицы вправо (получим $y=\frac{1}{x-1.5}$), а затем сжать его по вертикали в 2 раза (умножить все ординаты на $1/2$). Вертикальной асимптотой для $y_1$ будет прямая $x=1.5$, а горизонтальной — $y=0$.

3. Теперь строим итоговый график $y=|\frac{1}{2x-3}|$. Для этого часть графика $y_1 = \frac{1}{2x-3}$, которая лежит ниже оси Ox (при $2x-3<0$, то есть $x<1.5$), нужно симметрично отразить относительно оси Ox. Часть графика, где $x>1.5$, останется без изменений.

Итоговый график состоит из двух ветвей, обе расположены выше оси Ox. Вертикальная асимптота — $x=1.5$, горизонтальная — $y=0$. График симметричен относительно прямой $x=1.5$. Контрольные точки: при $x=2$, $y=|\frac{1}{4-3}|=1$; при $x=1$, $y=|\frac{1}{2-3}|=|-1|=1$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, расположенных в верхней полуплоскости, с вертикальной асимптотой $x=1.5$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. График симметричен относительно прямой $x=1.5$.