Номер 8.4, страница 74, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Постройте график функции (8.4–8.6):

8.4. 1) $y = 2 + \frac{3}{x}$;

2) $y = 1 + \frac{2}{x}$;

3) $y = 1 - \frac{2}{x}$;

4) $y = 2 - \frac{1}{2x}$.

1) $y = 2 + \frac{3}{x}$

Чтобы построить график функции $y = 2 + \frac{3}{x}$, мы будем использовать метод преобразования графика базовой функции.

1. Базовая функция. Основой для нашего графика является функция обратной пропорциональности $y = \frac{3}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях, так как коэффициент $k=3$ положителен. Асимптотами для этой функции служат оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox).

2. Преобразование. Данная функция $y = 2 + \frac{3}{x}$ получается из базовой функции $y = \frac{3}{x}$ путем сдвига (параллельного переноса) всего графика на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

3. Асимптоты. При таком сдвиге вертикальная асимптота не меняется и остается $x=0$. Горизонтальная асимптота сдвигается на 2 единицы вверх и становится прямой $y=2$.

4. Контрольные точки. Для более точного построения найдем несколько точек графика.

Найдем точку пересечения с осью Ox (при $y=0$):

$0 = 2 + \frac{3}{x} \implies \frac{3}{x} = -2 \implies x = -\frac{3}{2} = -1.5$. Точка пересечения: $(-1.5, 0)$.

Вычислим значения функции для других значений $x$:

- при $x=1$, $y = 2 + \frac{3}{1} = 5$. Точка: $(1, 5)$.

- при $x=3$, $y = 2 + \frac{3}{3} = 3$. Точка: $(3, 3)$.

- при $x=-1$, $y = 2 + \frac{3}{-1} = -1$. Точка: $(-1, -1)$.

- при $x=-3$, $y = 2 + \frac{3}{-3} = 1$. Точка: $(-3, 1)$.

5. Построение. В системе координат строим пунктирными линиями асимптоты $x=0$ и $y=2$. Затем отмечаем вычисленные контрольные точки. Соединяем точки плавными кривыми, получая две ветви гиперболы, которые приближаются к асимптотам.

Ответ: График функции $y = 2 + \frac{3}{x}$ является гиперболой, полученной сдвигом графика функции $y = \frac{3}{x}$ на 2 единицы вверх. Вертикальная асимптота — $x=0$, горизонтальная асимптота — $y=2$. Ветви графика расположены в областях $x>0, y>2$ и $x<0, y<2$.

2) $y = 1 + \frac{2}{x}$

График функции $y = 1 + \frac{2}{x}$ строится аналогично предыдущему.

1. Базовая функция: $y = \frac{2}{x}$. Это гипербола с ветвями в I и III четвертях ($k=2>0$).

2. Преобразование: Сдвиг графика $y = \frac{2}{x}$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

3. Асимптоты: Вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=1$.

4. Контрольные точки:

Точка пересечения с осью Ox ($y=0$):

$0 = 1 + \frac{2}{x} \implies \frac{2}{x} = -1 \implies x = -2$. Точка: $(-2, 0)$.

Другие точки:

- при $x=1$, $y = 1 + \frac{2}{1} = 3$. Точка: $(1, 3)$.

- при $x=2$, $y = 1 + \frac{2}{2} = 2$. Точка: $(2, 2)$.

- при $x=-1$, $y = 1 + \frac{2}{-1} = -1$. Точка: $(-1, -1)$.

5. Построение: Рисуем асимптоты $x=0$ и $y=1$. Отмечаем найденные точки и проводим через них две ветви гиперболы, приближающиеся к асимптотам.

Ответ: График функции $y = 1 + \frac{2}{x}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{2}{x}$ на 1 единицу вверх. Асимптоты: $x=0$ и $y=1$. Ветви расположены в областях $x>0, y>1$ и $x<0, y<1$.

3) $y = 1 - \frac{2}{x}$

Для построения графика функции $y = 1 - \frac{2}{x}$ представим её в виде $y = 1 + \frac{-2}{x}$.

1. Базовая функция: $y = \frac{-2}{x}$. Так как коэффициент $k=-2$ отрицателен, ветви этой гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

2. Преобразование: Сдвиг графика базовой функции $y = \frac{-2}{x}$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

3. Асимптоты: Вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=1$.

4. Контрольные точки:

Точка пересечения с осью Ox ($y=0$):

$0 = 1 - \frac{2}{x} \implies 1 = \frac{2}{x} \implies x = 2$. Точка: $(2, 0)$.

Другие точки:

- при $x=1$, $y = 1 - \frac{2}{1} = -1$. Точка: $(1, -1)$.

- при $x=-1$, $y = 1 - \frac{2}{-1} = 3$. Точка: $(-1, 3)$.

- при $x=-2$, $y = 1 - \frac{2}{-2} = 2$. Точка: $(-2, 2)$.

5. Построение: Рисуем асимптоты $x=0$ и $y=1$. Отмечаем точки и проводим через них ветви гиперболы. Одна ветвь будет в области $x<0, y>1$, а вторая — в области $x>0, y<1$.

Ответ: График функции $y = 1 - \frac{2}{x}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{-2}{x}$ на 1 единицу вверх. Асимптоты: $x=0$ и $y=1$. Ветви расположены в "новых" второй и четвертой четвертях, образованных асимптотами.

4) $y = 2 - \frac{1}{2x}$

Для построения графика функции $y = 2 - \frac{1}{2x}$ представим её в виде $y = 2 + \frac{-1/2}{x}$.

1. Базовая функция: $y = \frac{-1/2}{x}$ (или $y = -\frac{1}{2x}$). Коэффициент $k = -1/2 < 0$, поэтому ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

2. Преобразование: Сдвиг графика базовой функции $y = -\frac{1}{2x}$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

3. Асимптоты: Вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=2$.

4. Контрольные точки:

Точка пересечения с осью Ox ($y=0$):

$0 = 2 - \frac{1}{2x} \implies 2 = \frac{1}{2x} \implies 4x = 1 \implies x = \frac{1}{4} = 0.25$. Точка: $(0.25, 0)$.

Другие точки:

- при $x=0.5$, $y = 2 - \frac{1}{2 \cdot 0.5} = 2 - 1 = 1$. Точка: $(0.5, 1)$.

- при $x=1$, $y = 2 - \frac{1}{2 \cdot 1} = 1.5$. Точка: $(1, 1.5)$.

- при $x=-0.5$, $y = 2 - \frac{1}{2 \cdot (-0.5)} = 2 - (-1) = 3$. Точка: $(-0.5, 3)$.

- при $x=-1$, $y = 2 - \frac{1}{2 \cdot (-1)} = 2 + 0.5 = 2.5$. Точка: $(-1, 2.5)$.

5. Построение: Строим асимптоты $x=0$ и $y=2$. Наносим на координатную плоскость найденные точки. Соединяем точки плавными кривыми, получая ветви гиперболы в областях $x<0, y>2$ и $x>0, y<2$.

Ответ: График функции $y = 2 - \frac{1}{2x}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = -\frac{1}{2x}$ на 2 единицы вверх. Асимптоты: $x=0$ и $y=2$. Ветви расположены в областях, ограниченных асимптотами, соответствующих второй и четвертой четвертям.