Номер 8.6, страница 74, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.6. 1) $y = 1 - \frac{1}{x-2}$;

2) $y = 3 - \frac{2}{x-3}$;

3) $y = 3 - \frac{2}{x+2}$;

4) $y = 3 - \frac{1}{2x+4}$.

1) Рассмотрим функцию $y = 1 - \frac{1}{x-2}$.

Это дробно-рациональная функция. Ее график — гипербола, полученная смещением графика функции $y = -\frac{1}{x}$ на 2 единицы вправо и на 1 единицу вверх.

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.

Следовательно, область определения $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Найдем асимптоты графика функции.

Вертикальная асимптота — это прямая, при приближении к которой функция уходит в бесконечность. Это происходит при $x$, обращающем знаменатель в ноль, то есть $x=2$.

Горизонтальную асимптоту найдем, рассмотрев поведение функции при $x \to \pm\infty$.

При $x \to \pm\infty$, член $\frac{1}{x-2} \to 0$. Тогда $y \to 1 - 0 = 1$.

Горизонтальная асимптота — это прямая $y=1$.

Функцию также можно представить в виде одной дроби:

$y = 1 - \frac{1}{x-2} = \frac{1 \cdot (x-2) - 1}{x-2} = \frac{x-3}{x-2}$.

Ответ: Область определения функции: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$. Асимптоты графика: вертикальная $x=2$, горизонтальная $y=1$.

2) Рассмотрим функцию $y = 3 - \frac{2}{x-3}$.

Это дробно-рациональная функция, график которой — гипербола. Она получена из графика $y = -\frac{2}{x}$ путем сдвига на 3 единицы вправо и на 3 единицы вверх.

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$.

Следовательно, область определения $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

Найдем асимптоты графика функции.

Вертикальная асимптота соответствует значению $x$, при котором знаменатель равен нулю: $x=3$.

Горизонтальная асимптота определяется поведением функции при $x \to \pm\infty$.

При $x \to \pm\infty$, член $\frac{2}{x-3} \to 0$. Тогда $y \to 3 - 0 = 3$.

Горизонтальная асимптота — это прямая $y=3$.

Представим функцию в виде одной дроби:

$y = 3 - \frac{2}{x-3} = \frac{3 \cdot (x-3) - 2}{x-3} = \frac{3x - 9 - 2}{x-3} = \frac{3x-11}{x-3}$.

Ответ: Область определения функции: $x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$. Асимптоты графика: вертикальная $x=3$, горизонтальная $y=3$.

3) Рассмотрим функцию $y = 3 - \frac{2}{x+2}$.

Это дробно-рациональная функция, график которой — гипербола. Она получена из графика $y = -\frac{2}{x}$ путем сдвига на 2 единицы влево (так как $x+2 = x-(-2)$) и на 3 единицы вверх.

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

Следовательно, область определения $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Найдем асимптоты графика функции.

Вертикальная асимптота: $x=-2$.

Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$, член $\frac{2}{x+2} \to 0$, и $y \to 3 - 0 = 3$. Таким образом, асимптота — $y=3$.

Представим функцию в виде одной дроби:

$y = 3 - \frac{2}{x+2} = \frac{3 \cdot (x+2) - 2}{x+2} = \frac{3x + 6 - 2}{x+2} = \frac{3x+4}{x+2}$.

Ответ: Область определения функции: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$. Асимптоты графика: вертикальная $x=-2$, горизонтальная $y=3$.

4) Рассмотрим функцию $y = 3 - \frac{1}{2x+4}$.

Это дробно-рациональная функция. Для анализа преобразуем ее, вынеся общий множитель в знаменателе:

$y = 3 - \frac{1}{2(x+2)} = 3 - \frac{0.5}{x+2}$.

График функции — гипербола, полученная из графика $y = -\frac{0.5}{x}$ путем сдвига на 2 единицы влево и на 3 единицы вверх.

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$2x + 4 \neq 0 \implies 2(x+2) \neq 0 \implies x \neq -2$.

Следовательно, область определения $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Найдем асимптоты графика функции.

Вертикальная асимптота: $x=-2$.

Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$, член $\frac{1}{2x+4} \to 0$, и $y \to 3 - 0 = 3$. Таким образом, асимптота — $y=3$.

Представим функцию в виде одной дроби:

$y = 3 - \frac{1}{2x+4} = \frac{3 \cdot (2x+4) - 1}{2x+4} = \frac{6x + 12 - 1}{2x+4} = \frac{6x+11}{2x+4}$.

Ответ: Область определения функции: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$. Асимптоты графика: вертикальная $x=-2$, горизонтальная $y=3$.