Номер 8.3, страница 74, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.3. Используя параллельный перенос вдоль оси $Oy$, постройте график функции:

1) $y = 1 + \frac{1}{x}$;

2) $y = 2 + \frac{1}{x}$;

3) $y = 1 - \frac{1}{x}$;

4) $y = 2 - \frac{1}{x}$.

1) Чтобы построить график функции $y = 1 + \frac{1}{x}$, необходимо выполнить параллельный перенос графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$ вдоль оси $Oy$.

График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях. Её асимптоты — это оси координат: горизонтальная асимптота $y=0$ и вертикальная асимптота $x=0$.

Данная функция $y = 1 + \frac{1}{x}$ имеет вид $y = f(x) + c$, где $f(x) = \frac{1}{x}$ и $c=1$.

Поскольку $c=1 > 0$, необходимо сдвинуть график функции $y = \frac{1}{x}$ на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$.

При этом вертикальная асимптота $x=0$ останется без изменений, а горизонтальная асимптота сместится с $y=0$ на $y=1$.

Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ функции $y = \frac{1}{x}$ перейдет в точку $(x_0, y_0+1)$ на новом графике. Например, точка $(1, 1)$ перейдет в точку $(1, 2)$, а точка $(-1, -1)$ — в точку $(-1, 0)$.

Ответ: График функции $y = 1 + \frac{1}{x}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{1}{x}$ на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$. Горизонтальная асимптота — прямая $y=1$, вертикальная асимптота — прямая $x=0$.

2) Для построения графика функции $y = 2 + \frac{1}{x}$ используется параллельный перенос графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$ вдоль оси $Oy$.

Как и в предыдущем случае, базовая функция — гипербола $y = \frac{1}{x}$ с асимптотами $y=0$ и $x=0$.

Данное уравнение можно представить в виде $y = f(x) + c$, где $f(x) = \frac{1}{x}$ и $c=2$.

Так как $c=2 > 0$, для построения искомого графика нужно сдвинуть график $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

Вертикальная асимптота $x=0$ не изменится. Горизонтальная асимптота $y=0$ сместится на 2 единицы вверх и станет прямой $y=2$.

Например, точка $(1, 1)$ с графика $y = \frac{1}{x}$ переместится в точку $(1, 3)$, а точка $(-1, -1)$ — в точку $(-1, 1)$.

Ответ: График функции $y = 2 + \frac{1}{x}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Горизонтальная асимптота — $y=2$, вертикальная асимптота — $x=0$.

3) Чтобы построить график функции $y = 1 - \frac{1}{x}$, сначала рассмотрим базовую функцию $y = -\frac{1}{x}$. Её график — это гипербола, расположенная во II и IV координатных четвертях. Её асимптоты, как и у $y = \frac{1}{x}$, — это оси координат $x=0$ и $y=0$.

Функцию $y = 1 - \frac{1}{x}$ можно записать как $y = -\frac{1}{x} + 1$. Это соответствует преобразованию вида $y = f(x) + c$, где $f(x) = -\frac{1}{x}$ и $c=1$.

Поскольку $c=1 > 0$, необходимо выполнить параллельный перенос графика $y = -\frac{1}{x}$ на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$.

Вертикальная асимптота $x=0$ останется прежней, а горизонтальная асимптота $y=0$ сместится вверх и станет прямой $y=1$.

Точки графика $y = -\frac{1}{x}$, например, $(1, -1)$ и $(-1, 1)$, перейдут в точки $(1, 0)$ и $(-1, 2)$ соответственно.

Ответ: График функции $y = 1 - \frac{1}{x}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = -\frac{1}{x}$ на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$. Горизонтальная асимптота — $y=1$, вертикальная асимптота — $x=0$.

4) Для построения графика функции $y = 2 - \frac{1}{x}$ используем параллельный перенос графика базовой функции $y = -\frac{1}{x}$ вдоль оси $Oy$.

График функции $y = -\frac{1}{x}$ — это гипербола с ветвями во II и IV четвертях и асимптотами $x=0$ и $y=0$.

Запишем функцию в виде $y = -\frac{1}{x} + 2$. Это преобразование вида $y = f(x) + c$ с $f(x) = -\frac{1}{x}$ и $c=2$.

Так как $c=2 > 0$, график функции $y = -\frac{1}{x}$ необходимо сдвинуть на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

Вертикальная асимптота $x=0$ не меняется, а горизонтальная асимптота смещается с $y=0$ на $y=2$.

Например, точка $(1, -1)$ с графика $y = -\frac{1}{x}$ переходит в точку $(1, 1)$, а точка $(-1, 1)$ — в точку $(-1, 3)$.

Ответ: График функции $y = 2 - \frac{1}{x}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = -\frac{1}{x}$ на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Горизонтальная асимптота — $y=2$, вертикальная асимптота — $x=0$.