Номер 8.9, страница 75, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.9.Постройте график функции:

1) $y=\frac{1}{|2x-1|}$;

2) $y=\frac{1}{|2x+3|}$;

3) $y=\left|1+\frac{1}{x+2}\right|$;

4) $y=\left|1+\frac{1}{2x-3}\right|$.

1) $y=\frac{1}{|2x-1|}$

Для построения графика данной функции воспользуемся методом преобразования графиков.

1. Начнем с построения графика функции $y_1 = \frac{1}{2x-1}$. Это стандартная гипербола. Найдем ее асимптоты:

- Вертикальная асимптота: находится из условия, что знаменатель равен нулю. $2x-1=0$, откуда $x=\frac{1}{2}$.

- Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$, значение $y_1 \to 0$. Таким образом, горизонтальная асимптота — это ось Ox ($y=0$).

График $y_1$ имеет две ветви: одна в первой четверти относительно асимптот (при $x > \frac{1}{2}$) и одна в третьей четверти (при $x < \frac{1}{2}$).

2. Теперь применим преобразование модуля к знаменателю: $y = \frac{1}{|2x-1|}$. Это эквивалентно построению графика функции $y = |y_1(x)| = |\frac{1}{2x-1}|$, так как $y = \frac{1}{|2x-1|} = |\frac{1}{2x-1}|$.

- Поскольку выражение $|2x-1|$ всегда неотрицательно (и не равно нулю в области определения), то и вся функция $y$ будет принимать только положительные значения ($y>0$).

- Это означает, что часть графика $y_1$, которая находится выше оси Ox (правая ветвь при $x > \frac{1}{2}$), останется без изменений.

- Часть графика $y_1$, которая находится ниже оси Ox (левая ветвь при $x < \frac{1}{2}$), должна быть симметрично отражена относительно оси Ox.

В результате обе ветви гиперболы окажутся в верхней полуплоскости, симметрично относительно вертикальной асимптоты $x=\frac{1}{2}$.

Основные свойства графика:

- Область определения: $x \neq \frac{1}{2}$, то есть $D(y) = (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

- Область значений: $y > 0$, то есть $E(y) = (0; +\infty)$.

- Вертикальная асимптота: $x=\frac{1}{2}$.

- Горизонтальная асимптота: $y=0$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, расположенных в верхней полуплоскости. Ветви симметричны относительно прямой $x=0.5$. График неограниченно приближается к вертикальной асимптоте $x=0.5$ и к горизонтальной асимптоте $y=0$ (ось Ox).

2) $y=\frac{1}{|2x+3|}$

Построение этого графика аналогично предыдущему пункту.

1. Сначала строим график вспомогательной функции $y_1 = \frac{1}{2x+3}$. Это гипербола.

- Вертикальная асимптота: $2x+3=0$, откуда $x=-\frac{3}{2}$ или $x=-1.5$.

- Горизонтальная асимптота: $y=0$.

2. Далее применяем преобразование модуля: $y = \frac{1}{|2x+3|}$. Так же, как и в первом случае, это означает, что все значения $y$ будут положительными.

- Часть графика $y_1$, расположенная над осью Ox (при $x > -1.5$), сохраняется.

- Часть графика $y_1$, расположенная под осью Ox (при $x < -1.5$), отражается симметрично относительно оси Ox.

В результате получаем две ветви гиперболы, обе расположенные выше оси Ox.

Основные свойства графика:

- Область определения: $x \neq -1.5$, то есть $D(y) = (-\infty; -1.5) \cup (-1.5; +\infty)$.

- Область значений: $y > 0$, то есть $E(y) = (0; +\infty)$.

- Вертикальная асимптота: $x=-1.5$.

- Горизонтальная асимптота: $y=0$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, симметричных относительно прямой $x=-1.5$ и расположенных выше оси Ox. Ветви неограниченно приближаются к вертикальной асимптоте $x=-1.5$ и горизонтальной асимптоте $y=0$.

3) $y=|1+\frac{1}{x+2}|$

Для построения графика выполним следующие шаги:

1. Построим график функции без модуля: $g(x) = 1+\frac{1}{x+2}$. Приведем к общему знаменателю: $g(x) = \frac{x+2+1}{x+2} = \frac{x+3}{x+2}$. Это дробно-рациональная функция, ее график — гипербола.

- Вертикальная асимптота: $x+2=0 \implies x=-2$.

- Горизонтальная асимптота: $y=1$ (отношение коэффициентов при старших степенях $x$).

- Найдем точку пересечения с осью Ox (где $g(x)=0$): $\frac{x+3}{x+2}=0 \implies x+3=0 \implies x=-3$. Точка пересечения: $(-3, 0)$.

- Найдем точку пересечения с осью Oy (где $x=0$): $g(0) = 1+\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. Точка пересечения: $(0, \frac{3}{2})$.

2. Теперь применим преобразование модуля: $y = |g(x)| = |1+\frac{1}{x+2}|$.

- Это преобразование оставляет без изменений ту часть графика $g(x)$, которая находится выше или на оси Ox ($g(x) \ge 0$).

- Часть графика $g(x)$, которая находится ниже оси Ox ($g(x) < 0$), симметрично отражается относительно оси Ox.

- Выясним, где $g(x) < 0$: $\frac{x+3}{x+2} < 0$. Решая методом интервалов, получаем, что это неравенство выполняется при $x \in (-3, -2)$.

- Таким образом, участок графика $g(x)$ на интервале $(-3, -2)$ отражается вверх.

Итоговый график будет иметь "излом" в точке $(-3, 0).

Основные свойства графика:

- Область определения: $x \neq -2$, то есть $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

- Область значений: $y \ge 0$, то есть $E(y) = [0; +\infty)$.

- Вертикальная асимптота: $x=-2$.

- Горизонтальная асимптота: $y=1$.

Ответ: График получается из гиперболы $y=1+\frac{1}{x+2}$ (с асимптотами $x=-2$ и $y=1$) путем отражения ее части, лежащей под осью Ox, в верхнюю полуплоскость. Эта часть соответствует интервалу $x \in (-3, -2)$. В точке $(-3, 0)$ график имеет угловой излом. Правая ветвь ($x>-2$) полностью лежит выше асимптоты $y=1$. Левая ветвь ($x<-2$) приближается к $y=1$ слева, доходит до точки $(-3,0)$, а затем уходит вверх к вертикальной асимптоте $x=-2$.

4) $y=|1+\frac{1}{2x-3}|$

Построение аналогично предыдущему пункту.

1. Строим график функции $g(x) = 1+\frac{1}{2x-3}$. Приведем к общему знаменателю: $g(x) = \frac{2x-3+1}{2x-3} = \frac{2x-2}{2x-3}$. График — гипербола.

- Вертикальная асимптота: $2x-3=0 \implies x=\frac{3}{2}$ или $x=1.5$.

- Горизонтальная асимптота: $y=1$ (отношение коэффициентов при $x$, то есть $\frac{2}{2}$).

- Точка пересечения с осью Ox ($g(x)=0$): $2x-2=0 \implies x=1$. Точка: $(1, 0)$.

- Точка пересечения с осью Oy ($x=0$): $g(0) = 1+\frac{1}{-3} = \frac{2}{3}$. Точка: $(0, \frac{2}{3})$.

2. Применяем преобразование модуля: $y = |g(x)|$. Часть графика $g(x)$, лежащая под осью Ox, отражается наверх.

- Определим, где $g(x) < 0$: $\frac{2x-2}{2x-3} < 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (1, 1.5)$.

- Участок графика на интервале $(1, 1.5)$ отражается симметрично относительно оси Ox.

Итоговый график имеет угловую точку в $(1, 0)$.

Основные свойства графика:

- Область определения: $x \neq 1.5$, то есть $D(y) = (-\infty; 1.5) \cup (1.5; +\infty)$.

- Область значений: $y \ge 0$, то есть $E(y) = [0; +\infty)$.

- Вертикальная асимптота: $x=1.5$.

- Горизонтальная асимптота: $y=1$.

Ответ: График получается из гиперболы $y=1+\frac{1}{2x-3}$ (с асимптотами $x=1.5$ и $y=1$) путем отражения ее части с интервала $x \in (1, 1.5)$ относительно оси Ox. В точке $(1, 0)$ график имеет излом. Правая ветвь ($x>1.5$) целиком лежит выше горизонтальной асимптоты $y=1$. Левая ветвь ($x<1.5$) идет от асимптоты $y=1$ до точки $(1,0)$, а затем отражается вверх, уходя к вертикальной асимптоте $x=1.5$.