Номер 8.7, страница 75, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.7. Запишите аналитическую формулу по графику функции $f(x)$ (рис. 8.2):

Рис. 8.2

1) График функции является гиперболой, которая представляет собой смещенный график стандартной функции $y = \frac{k}{x}$. Общая формула для такой функции имеет вид $y = f(x) = \frac{k}{x-a} + b$, где $x=a$ — это уравнение вертикальной асимптоты, а $y=b$ — уравнение горизонтальной асимптоты.

По графику определяем положение асимптот:

- Вертикальная асимптота — это прямая, к которой стремится график по вертикали. На рисунке это прямая $x=1$. Следовательно, $a=1$.

- Горизонтальная асимптота — это прямая, к которой стремится график при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$. На рисунке это ось абсцисс, то есть прямая $y=0$. Следовательно, $b=0$.

Таким образом, формула функции принимает вид $f(x) = \frac{k}{x-1}$.

Для нахождения коэффициента $k$ выберем на графике точку с целочисленными координатами, например, точку $(0, -1)$. Подставим ее координаты в полученное уравнение:

$-1 = \frac{k}{0-1}$

$-1 = \frac{k}{-1}$

$k = 1$

Итак, искомая аналитическая формула функции: $f(x) = \frac{1}{x-1}$.

Для проверки можно взять еще одну точку, например, $(2, 1)$. Подставим в формулу: $f(2) = \frac{1}{2-1} = 1$. Значение совпадает с графиком.

Ответ: $f(x) = \frac{1}{x-1}$

2) Данный график также является гиперболой, описываемой уравнением $y = f(x) = \frac{k}{x-a} + b$.

Определяем асимптоты по графику:

- Вертикальная асимптота — это ось ординат, то есть прямая $x=0$. Отсюда $a=0$.

- Горизонтальная асимптота — это прямая $y=-1$. Отсюда $b=-1$.

Следовательно, формула функции принимает вид $f(x) = \frac{k}{x} - 1$.

Для нахождения коэффициента $k$ используем точку на графике с известными координатами, например, точку $(1, 0)$. Подставим ее координаты в уравнение:

$0 = \frac{k}{1} - 1$

$1 = k$

Итак, искомая аналитическая формула функции: $f(x) = \frac{1}{x} - 1$.

Для проверки возьмем точку $(-1, -2)$. Подставим в формулу: $f(-1) = \frac{1}{-1} - 1 = -1 - 1 = -2$. Значение совпадает с графиком.

Ответ: $f(x) = \frac{1}{x} - 1$