Номер 8.1, страница 74, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.1. Используя параллельный перенос вдоль оси $Ox$, постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{x - 2}$; 2) $y = -\frac{1}{x - 3}$; 3) $y = \frac{1}{x + 2}$; 4) $y = -\frac{1}{x + 3}$.

1) $y = \frac{1}{x-2}$

Для построения графика функции $y = \frac{1}{x-2}$ используется метод параллельного переноса. За основу берется график базовой функции $y = \frac{1}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются координатные оси: вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox).

График функции вида $y = f(x-a)$ получается из графика функции $y=f(x)$ параллельным переносом вдоль оси Ox. В нашем случае $f(x) = \frac{1}{x}$ и $a=2$. Так как $a > 0$, перенос осуществляется на $a$ единиц вправо.

Следовательно, чтобы построить график функции $y = \frac{1}{x-2}$, нужно сдвинуть график $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

При этом вертикальная асимптота $x=0$ сместится на 2 единицы вправо и станет прямой $x=2$. Горизонтальная асимптота $y=0$ останется на своем месте. Ветви гиперболы будут расположены относительно новой системы координат, образованной асимптотами $x=2$ и $y=0$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{x-2}$ получается путем параллельного переноса графика функции $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

2) $y = -\frac{1}{x-3}$

Для построения этого графика за основу возьмем функцию $y = -\frac{1}{x}$. Ее график — это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами также являются оси $x=0$ и $y=0$.

Данная функция имеет вид $y = g(x-a)$, где $g(x) = -\frac{1}{x}$ и $a=3$.

Поскольку $a = 3 > 0$, для получения графика функции $y = -\frac{1}{x-3}$ необходимо сдвинуть график функции $y = -\frac{1}{x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox.

Вертикальная асимптота сместится из $x=0$ в $x=3$. Горизонтальная асимптота $y=0$ не изменит своего положения. Ветви гиперболы будут расположены относительно новых асимптот $x=3$ и $y=0$ во "второй" и "четвертой" четвертях.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{x-3}$ получается путем параллельного переноса графика функции $y = -\frac{1}{x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox.

3) $y = \frac{1}{x+2}$

Используем параллельный перенос графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$ (гипербола в I и III четвертях, асимптоты $x=0$, $y=0$).

Заданную функцию можно представить в виде $y = \frac{1}{x-(-2)}$. Это функция вида $y = f(x-a)$, где $f(x) = \frac{1}{x}$ и $a = -2$.

Так как $a < 0$, перенос осуществляется на $|a|$ единиц влево.

Следовательно, чтобы построить график функции $y = \frac{1}{x+2}$, нужно сдвинуть график $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox.

Вертикальная асимптота $x=0$ сместится в положение $x=-2$. Горизонтальная асимптота $y=0$ останется без изменений.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{x+2}$ получается путем параллельного переноса графика функции $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox.

4) $y = -\frac{1}{x+3}$

Используем параллельный перенос графика базовой функции $y = -\frac{1}{x}$ (гипербола во II и IV четвертях, асимптоты $x=0$, $y=0$).

Заданную функцию можно представить в виде $y = -\frac{1}{x-(-3)}$. Это функция вида $y = g(x-a)$, где $g(x) = -\frac{1}{x}$ и $a = -3$.

Поскольку $a < 0$, необходимо сдвинуть график исходной функции на $|-3| = 3$ единицы влево вдоль оси Ox.

Вертикальная асимптота $x=0$ сместится в положение $x=-3$. Горизонтальная асимптота $y=0$ не изменится. Ветви гиперболы будут расположены относительно новых асимптот $x=-3$ и $y=0$ во "второй" и "четвертой" четвертях.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{x+3}$ получается путем параллельного переноса графика функции $y = -\frac{1}{x}$ на 3 единицы влево вдоль оси Ox.