Номер 7.46, страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.46. Упростите выражение $(\frac{7-x}{5x+x^2} - \frac{x+6}{5x-x^2})(\frac{20x+23x^2-x^3}{23x-5} - x)$.

Чтобы упростить выражение, выполним действия по шагам: сначала упростим выражения в каждой из скобок, а затем перемножим полученные результаты.

1. Упростим выражение в первой скобке: $\left(\frac{7-x}{5x+x^2} - \frac{x+6}{5x-x^2}\right)$

Для начала разложим знаменатели на множители: $5x+x^2 = x(5+x)$ и $5x-x^2 = x(5-x)$.

Теперь выражение в скобках выглядит так: $\frac{7-x}{x(5+x)} - \frac{x+6}{x(5-x)}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $x(5+x)(5-x)$, который также можно записать как $x(25-x^2)$:

$\frac{(7-x)(5-x)}{x(5+x)(5-x)} - \frac{(x+6)(5+x)}{x(5+x)(5-x)} = \frac{(7-x)(5-x) - (x+6)(5+x)}{x(25-x^2)}$.

Теперь раскроем скобки в числителе. Сначала первое произведение:

$(7-x)(5-x) = 35 - 7x - 5x + x^2 = x^2 - 12x + 35$.

Затем второе произведение:

$(x+6)(5+x) = 5x + x^2 + 30 + 6x = x^2 + 11x + 30$.

Подставим полученные многочлены в числитель и выполним вычитание:

$(x^2 - 12x + 35) - (x^2 + 11x + 30) = x^2 - 12x + 35 - x^2 - 11x - 30 = -23x + 5$.

Итак, выражение в первой скобке упрощается до $\frac{-23x + 5}{x(25-x^2)}$.

2. Упростим выражение во второй скобке: $\left(\frac{20x+23x^2-x^3}{23x-5} - x\right)$

Приведем к общему знаменателю $(23x-5)$:

$\frac{20x+23x^2-x^3 - x(23x-5)}{23x-5}$.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$20x+23x^2-x^3 - (23x^2 - 5x) = 20x+23x^2-x^3 - 23x^2 + 5x = (20x+5x) + (23x^2-23x^2) - x^3 = 25x - x^3$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки в полученном числителе: $x(25-x^2)$.

Итак, выражение во второй скобке равно $\frac{x(25-x^2)}{23x-5}$.

3. Перемножим полученные выражения

Теперь необходимо умножить результат первого действия на результат второго:

$\left(\frac{-23x + 5}{x(25-x^2)}\right) \cdot \left(\frac{x(25-x^2)}{23x-5}\right)$.

В числителе первой дроби вынесем знак минус за скобку: $-23x+5 = -(23x-5)$.

Тогда произведение примет вид:

$\frac{-(23x-5)}{x(25-x^2)} \cdot \frac{x(25-x^2)}{23x-5}$.

Теперь можно сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе: $(23x-5)$ и $x(25-x^2)$.

$\frac{-1 \cdot \cancel{(23x-5)}}{\cancel{x(25-x^2)}} \cdot \frac{\cancel{x(25-x^2)}}{\cancel{(23x-5)}} = -1$.

Упрощение верно при условии, что $x \neq 0$, $x \neq \pm 5$, $x \neq \frac{5}{23}$, чтобы знаменатели не обращались в ноль.

Ответ: $-1$.