Номер 7.44, страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.44. Постройте схематический график нечетной функции $y=f(x)$, которая имеет минимум в точке $x_1=1$ и максимум в точке $x_2=3$.

Найдите число точек экстремумов этой функции.

Постройте схематический график нечетной функции y=f(x), которая имеет минимум в точке x₁ = 1 и максимум в точке x₂ = 3.

По определению, нечетная функция $y=f(x)$ удовлетворяет условию $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из ее области определения. График нечетной функции симметричен относительно начала координат, точки $(0, 0)$. Если функция определена в точке $x=0$, то из свойства нечетности следует, что $f(0) = -f(0)$, откуда $f(0)=0$.

В условии задачи дано, что функция имеет:

• локальный минимум в точке $x_1 = 1$;
• локальный максимум в точке $x_2 = 3$.

Используем свойство симметрии нечетной функции для нахождения экстремумов при отрицательных значениях $x$.

Если в точке $x_0$ нечетная функция имеет локальный минимум, то в точке $-x_0$ она будет иметь локальный максимум. Это следует из того, что если $f(x) \ge f(x_0)$ в окрестности $x_0$, то $f(-x) = -f(x) \le -f(x_0) = f(-x_0)$ в окрестности $-x_0$.

Аналогично, если в точке $x_0$ функция имеет локальный максимум, то в точке $-x_0$ она будет иметь локальный минимум.

Применяя эти правила к нашей задаче:

• Поскольку в точке $x_1 = 1$ находится минимум, то в точке $x = -1$ будет находиться максимум.
• Поскольку в точке $x_2 = 3$ находится максимум, то в точке $x = -3$ будет находиться минимум.

Таким образом, для построения схематического графика мы имеем следующую информацию о поведении функции:

• Точки минимума: $x = -3$ и $x = 1$.
• Точки максимума: $x = -1$ и $x = 3$.
• График проходит через начало координат $(0, 0)$.
• Функция возрастает на интервалах $(-3, -1)$ и $(1, 3)$.
• Функция убывает на интервалах $(-\infty, -3)$, $(-1, 1)$ и $(3, \infty)$.

Схематический график функции, удовлетворяющий этим условиям, представлен ниже.

Ответ: Схематический график построен выше.

Найдите число точек экстремумов этой функции.

На основании анализа, проведенного выше, мы определили все точки экстремума функции. Исходно были даны две точки экстремума для $x > 0$:

• минимум в $x_1 = 1$;
• максимум в $x_2 = 3$.

Используя свойство нечетности функции $f(-x) = -f(x)$, мы нашли соответствующие точки экстремума для $x < 0$:

• максимум в $x = -1$;
• минимум в $x = -3$.

Точка $x=0$ не является точкой экстремума (в данном случае это точка перегиба). Таким образом, общее число точек экстремумов равно сумме найденных точек.

Всего у функции 4 точки экстремума: $x = -3, x = -1, x = 1, x = 3$.

Ответ: 4.