Номер 7.37, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.37. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции с параметром a:

1) $y = x^2 + 5x + 6a$ на числовом отрезке $[-3; -1];

2) $y = -x^2 + 5x + 8a$ на числовом отрезке $[-1; 5];

3) $y = x^2 - ax + 7$ на числовом отрезке $[0; 4].

1) Дана функция $y = x^2 + 5x + 6a$ на числовом отрезке $[-3; -1]$.

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$). Наименьшее значение на отрезке непрерывная функция достигает либо в точке локального минимума (вершине параболы), если она принадлежит отрезку, либо на одном из концов отрезка.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $x_в = -\frac{b}{2a_q}$:

$x_в = -\frac{5}{2 \cdot 1} = -2.5$.

Поскольку значение $x_в = -2.5$ принадлежит отрезку $[-3; -1]$, наименьшее значение функции на этом отрезке будет достигаться в вершине параболы.

$y_{наим} = y(-2.5) = (-2.5)^2 + 5(-2.5) + 6a = 6.25 - 12.5 + 6a = 6a - 6.25$.

Наибольшее значение функции на отрезке достигается на одном из его концов, так как вершина является точкой минимума. Вычислим значения функции на концах отрезка:

$y(-3) = (-3)^2 + 5(-3) + 6a = 9 - 15 + 6a = 6a - 6$.

$y(-1) = (-1)^2 + 5(-1) + 6a = 1 - 5 + 6a = 6a - 4$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $6a - 4 > 6a - 6$. Следовательно, наибольшее значение функции равно $6a - 4$.

Ответ: Наименьшее значение функции $y_{наим} = 6a - 6.25$, наибольшее значение функции $y_{наиб} = 6a - 4$.

2) Дана функция $y = -x^2 + 5x + 8a$ на числовом отрезке $[-1; 5]$.

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен, $-1 < 0$). Наибольшее значение на отрезке достигается либо в вершине параболы, если она принадлежит отрезку, либо на одном из концов отрезка.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_в = -\frac{5}{2 \cdot (-1)} = 2.5$.

Значение $x_в = 2.5$ принадлежит отрезку $[-1; 5]$, поэтому наибольшее значение функции на этом отрезке достигается в вершине.

$y_{наиб} = y(2.5) = -(2.5)^2 + 5(2.5) + 8a = -6.25 + 12.5 + 8a = 8a + 6.25$.

Наименьшее значение функции на отрезке достигается на одном из его концов. Вычислим значения функции на концах отрезка:

$y(-1) = -(-1)^2 + 5(-1) + 8a = -1 - 5 + 8a = 8a - 6$.

$y(5) = -(5)^2 + 5(5) + 8a = -25 + 25 + 8a = 8a$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $8a - 6 < 8a$. Следовательно, наименьшее значение функции равно $8a - 6$.

Ответ: Наименьшее значение функции $y_{наим} = 8a - 6$, наибольшее значение функции $y_{наиб} = 8a + 6.25$.

3) Дана функция $y = x^2 - ax + 7$ на числовом отрезке $[0; 4]$.

Это квадратичная функция, график — парабола с ветвями вверх. Абсцисса вершины параболы зависит от параметра $a$: $x_в = -\frac{-a}{2 \cdot 1} = \frac{a}{2}$. Для нахождения экстремумов необходимо рассмотреть различные случаи расположения вершины относительно отрезка $[0; 4]$.

Наименьшее значение функции $y_{наим}$

1. Если вершина находится левее отрезка, т.е. $x_в < 0 \implies \frac{a}{2} < 0 \implies a < 0$. В этом случае функция возрастает на отрезке $[0; 4]$, и наименьшее значение достигается в точке $x=0$:

$y_{наим} = y(0) = 7$.

2. Если вершина находится внутри отрезка, т.е. $0 \le x_в \le 4 \implies 0 \le \frac{a}{2} \le 4 \implies 0 \le a \le 8$. В этом случае наименьшее значение достигается в самой вершине:

$y_{наим} = y(\frac{a}{2}) = (\frac{a}{2})^2 - a(\frac{a}{2}) + 7 = \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2} + 7 = 7 - \frac{a^2}{4}$.

3. Если вершина находится правее отрезка, т.е. $x_в > 4 \implies \frac{a}{2} > 4 \implies a > 8$. В этом случае функция убывает на отрезке $[0; 4]$, и наименьшее значение достигается в точке $x=4$:

$y_{наим} = y(4) = 4^2 - 4a + 7 = 23 - 4a$.

Наибольшее значение функции $y_{наиб}$

Наибольшее значение на отрезке для параболы с ветвями вверх всегда достигается на одном из концов отрезка. Сравним значения функции в точках $x=0$ и $x=4$:

$y(0) = 7$

$y(4) = 23 - 4a$

1. Если $y(4) \ge y(0)$, т.е. $23 - 4a \ge 7 \implies 16 \ge 4a \implies a \le 4$. Наибольшее значение равно $y(4)$:

$y_{наиб} = 23 - 4a$.

2. Если $y(4) < y(0)$, т.е. $23 - 4a < 7 \implies 16 < 4a \implies a > 4$. Наибольшее значение равно $y(0)$:

$y_{наиб} = 7$.

Ответ:

Наименьшее значение: $y_{наим} = 7$ при $a < 0$; $y_{наим} = 7 - \frac{a^2}{4}$ при $0 \le a \le 8$; $y_{наим} = 23 - 4a$ при $a > 8$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = 23 - 4a$ при $a \le 4$; $y_{наиб} = 7$ при $a > 4$.