Номер 7.32, страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.32. Постройте график и запишите точки экстремума функции:

1) $y = |x^2 - 4|;$

2) $y = |-x^2 - 2x|;$

3) $y = |2x^2 - 4|;$

4) $y = |3x^2 - 6x|.$

1) y = |x² - 4|

Для построения графика функции $y = |x^2 - 4|$, сначала построим график параболы $f(x) = x^2 - 4$.

1. Это стандартная парабола $y = x^2$, смещенная на 4 единицы вниз по оси Oy. Ветви параболы направлены вверх.

2. Вершина параболы находится в точке с координатами $x_в = -\frac{b}{2a} = 0$ и $y_в = 0^2 - 4 = -4$. Точка вершины: $(0, -4)$.

3. Нули функции (точки пересечения с осью Ox) находятся из уравнения $x^2 - 4 = 0$, откуда $x^2 = 4$, то есть $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.

4. График функции $f(x) = x^2 - 4$ — это парабола с вершиной в $(0, -4)$, пересекающая ось Ox в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

Чтобы получить график функции $y = |x^2 - 4|$, мы оставляем без изменений ту часть графика $f(x)$, которая находится выше или на оси Ox (при $x \le -2$ и $x \ge 2$), и симметрично отражаем относительно оси Ox ту часть, которая находится ниже оси Ox (при $-2 < x < 2$). При этом вершина параболы $(0, -4)$ переходит в точку $(0, 4)$.

Точки экстремума — это точки локального максимума или минимума. Из графика видно:

- В точке $x=0$ функция имеет локальный максимум, равный 4.

- В точках $x=-2$ и $x=2$ функция имеет локальные минимумы, равные 0.

Ответ: $x_{min} = \pm 2$; $x_{max} = 0$.

2) y = |-x² - 2x|

Сначала построим график параболы $f(x) = -x^2 - 2x$.

1. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный (a=-1), ветви параболы направлены вниз.

2. Вершина параболы: $x_в = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1$. $y_в = -(-1)^2 - 2(-1) = -1 + 2 = 1$. Точка вершины: $(-1, 1)$.

3. Нули функции: $-x^2 - 2x = 0 \implies -x(x + 2) = 0$, откуда $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

4. График функции $f(x) = -x^2 - 2x$ — это парабола с вершиной в $(-1, 1)$, ветвями вниз, пересекающая ось Ox в точках $(-2, 0)$ и $(0, 0)$.

Для построения графика $y = |-x^2 - 2x|$ часть графика $f(x)$, которая находится ниже оси Ox (при $x < -2$ и $x > 0$), отражается симметрично относительно оси Ox. Часть графика, которая находится выше или на оси Ox (при $-2 \le x \le 0$), остается без изменений.

Точки экстремума:

- Вершина параболы $(-1, 1)$ находится выше оси Ox, поэтому она является точкой локального максимума. В точке $x=-1$ максимум равен 1.

- Точки пересечения с осью Ox, $x=-2$ и $x=0$, становятся точками локального минимума, равного 0.

Ответ: $x_{min} \in \{-2, 0\}$; $x_{max} = -1$.

3) y = |2x² - 4|

Построим график, начав с параболы $f(x) = 2x^2 - 4$.

1. Коэффициент при $x^2$ равен 2 (положительный), значит, ветви параболы направлены вверх.

2. Вершина параболы: $x_в = -\frac{0}{2 \cdot 2} = 0$. $y_в = 2(0)^2 - 4 = -4$. Точка вершины: $(0, -4)$.

3. Нули функции: $2x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 2$. Отсюда $x_1 = -\sqrt{2}$ и $x_2 = \sqrt{2}$.

4. График $f(x) = 2x^2 - 4$ — парабола с вершиной в $(0, -4)$ и ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках $(-\sqrt{2}, 0)$ и $(\sqrt{2}, 0)$.

Для построения графика $y = |2x^2 - 4|$ часть параболы, расположенную ниже оси Ox (на интервале $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$), отражаем симметрично относительно этой оси. Вершина $(0, -4)$ переходит в точку $(0, 4)$.

Точки экстремума:

- В точке $x=0$ функция имеет локальный максимум, равный 4.

- В точках $x=-\sqrt{2}$ и $x=\sqrt{2}$ функция имеет локальные минимумы, равные 0.

Ответ: $x_{min} = \pm \sqrt{2}$; $x_{max} = 0$.

4) y = |3x² - 6x|

Сначала построим параболу $f(x) = 3x^2 - 6x$.

1. Ветви параболы направлены вверх (a=3).

2. Вершина параболы: $x_в = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = 1$. $y_в = 3(1)^2 - 6(1) = -3$. Точка вершины: $(1, -3)$.

3. Нули функции: $3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0$. Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

4. График $f(x) = 3x^2 - 6x$ — парабола с вершиной в $(1, -3)$, ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Для получения графика $y = |3x^2 - 6x|$ отражаем часть параболы, находящуюся под осью Ox (на интервале $(0, 2)$), относительно этой оси. Вершина $(1, -3)$ переходит в точку $(1, 3)$.

Точки экстремума:

- В точке $x=1$ функция имеет локальный максимум, равный 3.

- В точках $x=0$ и $x=2$ функция имеет локальные минимумы, равные 0.

Ответ: $x_{min} \in \{0, 2\}$; $x_{max} = 1$.