Номер 7.31, страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.31. Исследуйте на четность функцию:

1) $y = -8x + x^2 + x^3$;

2) $y = 0,2x^2 |x| - x^3 |x|$;

3) $y = \sqrt{x^3 + x^2 - 31 |x^3|}$;

4) $y = -x^4 \sqrt{x - x^2} - x^2 |x^2|$.

5) $y = -\frac{1}{x^2 - 5} + \sqrt{x^3 - 1}$;

6) $y = \sqrt{x^2 - 1} - \frac{x^3}{x^4 - 3}$;

7) $y = x + |x| - \frac{1 - x^2}{\sqrt{5 + x^3}}$;

8) $y = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{x^3 - x} + x^2 |x|$.

1) $y = -8x + x^2 + x^3$

Обозначим функцию как $f(x) = -8x + x^2 + x^3$.

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат.

2. Найдем значение функции для $-x$:

$f(-x) = -8(-x) + (-x)^2 + (-x)^3 = 8x + x^2 - x^3$.

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(x) = -8x + x^2 + x^3$

$-f(x) = -(-8x + x^2 + x^3) = 8x - x^2 - x^3$

Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, то функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

Ответ: функция ни четная, ни нечетная.

2) $y = 0,2x^2|x| - x^3|x|$

Обозначим функцию как $f(x) = 0,2x^2|x| - x^3|x|$.

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат.

2. Найдем значение функции для $-x$, используя свойства $(-x)^2 = x^2$, $|-x| = |x|$, $(-x)^3 = -x^3$:

$f(-x) = 0,2(-x)^2|-x| - (-x)^3|-x| = 0,2x^2|x| - (-x^3)|x| = 0,2x^2|x| + x^3|x|$.

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(x) = 0,2x^2|x| - x^3|x|$

$-f(x) = -0,2x^2|x| + x^3|x|$

Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, то функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: функция ни четная, ни нечетная.

3) $y = \sqrt{x^3 + x^2 - 31|x^3|}$

Обозначим функцию как $f(x) = \sqrt{x^3 + x^2 - 31|x^3|}$.

1. Найдем область определения функции $D(f)$, решив неравенство $x^3 + x^2 - 31|x^3| \ge 0$.

а) При $x \ge 0$, имеем $|x^3|=x^3$. Неравенство: $x^3 + x^2 - 31x^3 \ge 0 \implies x^2(1 - 30x) \ge 0$. Отсюда $0 \le x \le \frac{1}{30}$.

б) При $x < 0$, имеем $|x^3|=-x^3$. Неравенство: $x^3 + x^2 - 31(-x^3) \ge 0 \implies x^2(32x + 1) \ge 0$. Отсюда $-\frac{1}{32} \le x < 0$.

Объединяя результаты, получаем $D(f) = [-\frac{1}{32}, \frac{1}{30}]$.

2. Область определения не является симметричной относительно начала координат (например, $\frac{1}{30} \in D(f)$, а $-\frac{1}{30} \notin D(f)$).

Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: функция ни четная, ни нечетная.

4) $y = -x^4\sqrt{x-x^2} - x^2|x^2|$

Обозначим функцию как $f(x) = -x^4\sqrt{x-x^2} - x^2|x^2|$.

1. Найдем область определения $D(f)$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x-x^2 \ge 0 \implies x(1-x) \ge 0$. Решением является отрезок $x \in [0, 1]$.

2. Область определения $D(f) = [0, 1]$ не является симметричной относительно начала координат (например, $1 \in D(f)$, а $-1 \notin D(f)$).

Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: функция ни четная, ни нечетная.

5) $y = -\frac{1}{x^2-5} + \sqrt{x^3-1}$

Обозначим функцию как $f(x) = -\frac{1}{x^2-5} + \sqrt{x^3-1}$.

1. Найдем область определения $D(f)$. Должны выполняться условия:

а) $x^2-5 \neq 0 \implies x \neq \pm\sqrt{5}$.

б) $x^3-1 \ge 0 \implies x^3 \ge 1 \implies x \ge 1$.

Объединяя условия, получаем $D(f) = [1, \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}, +\infty)$.

2. Область определения не является симметричной относительно начала координат (например, $2 \in D(f)$, а $-2 \notin D(f)$).

Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: функция ни четная, ни нечетная.

6) $y = \sqrt{x^2-1} - \frac{x^3}{x^4-3}$

Обозначим функцию как $f(x) = \sqrt{x^2-1} - \frac{x^3}{x^4-3}$.

1. Найдем область определения $D(f)$. Условия: $x^2-1 \ge 0 \implies |x| \ge 1$ и $x^4-3 \neq 0 \implies x \neq \pm\sqrt[4]{3}$. Область определения $D(f) = (-\infty, -\sqrt[4]{3}) \cup (-\sqrt[4]{3}, -1] \cup [1, \sqrt[4]{3}) \cup (\sqrt[4]{3}, +\infty)$ симметрична относительно начала координат.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \sqrt{(-x)^2-1} - \frac{(-x)^3}{(-x)^4-3} = \sqrt{x^2-1} - \frac{-x^3}{x^4-3} = \sqrt{x^2-1} + \frac{x^3}{x^4-3}$.

3. Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: функция ни четная, ни нечетная.

7) $y = x + |x| - \frac{1-x^2}{\sqrt{5+x^3}}$

Обозначим функцию как $f(x) = x + |x| - \frac{1-x^2}{\sqrt{5+x^3}}$.

1. Найдем область определения $D(f)$. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $5+x^3 > 0 \implies x^3 > -5 \implies x > -\sqrt[3]{5}$.

Область определения $D(f) = (-\sqrt[3]{5}, +\infty)$.

2. Область определения не является симметричной относительно начала координат (например, $1 \in D(f)$, а $-3 < -\sqrt[3]{5}$, поэтому $-3 \notin D(f)$).

Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: функция ни четная, ни нечетная.

8) $y = \frac{\sqrt{4-x^2}}{x^3-x} + x^2|x|$

Обозначим функцию как $f(x) = \frac{\sqrt{4-x^2}}{x^3-x} + x^2|x|$.

1. Найдем область определения $D(f)$. Условия: $4-x^2 \ge 0 \implies |x| \le 2$ и $x^3-x \neq 0 \implies x(x^2-1) \neq 0 \implies x \notin \{0, -1, 1\}$.

Область определения $D(f) = [-2, -1) \cup (-1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, 2]$ симметрична относительно начала координат.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\sqrt{4-(-x)^2}}{(-x)^3-(-x)} + (-x)^2|-x| = \frac{\sqrt{4-x^2}}{-x^3+x} + x^2|x| = -\frac{\sqrt{4-x^2}}{x^3-x} + x^2|x|$.

3. Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (она является суммой нечетной и четной функций).

Ответ: функция ни четная, ни нечетная.