Номер 7.24, страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите промежутки убывания функций (7.24–7.25):

7.24.1) $y = -x^3 - x;$

2) $y = -x^2 + 3x$, где $x \le 1;$

3) $y = x^4 + 3$, где $x \le -3;$

4) $y = -x^4 + 8$, где $x \ge 2.$

Для нахождения промежутков убывания функции используется следующий алгоритм:

1. Найти производную функции $y' = f'(x)$.

2. Решить неравенство $y' \le 0$. Решение этого неравенства даст промежутки, на которых функция убывает.

3. Учесть область определения функции, заданную в условии, и найти пересечение с найденными промежутками убывания.

1) Дана функция $y = -x^3 - x$.

1. Найдем производную функции:

$y' = (-x^3 - x)' = -3x^2 - 1$.

2. Найдем промежутки, где $y' \le 0$:

$-3x^2 - 1 \le 0$

$-3x^2 \le 1$

$x^2 \ge -\frac{1}{3}$

Это неравенство верно для любого действительного числа $x$, так как $x^2$ всегда неотрицательно.

3. Область определения не ограничена.

Следовательно, функция убывает на всей числовой прямой.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

2) Дана функция $y = -x^2 + 3x$, где $x \le 1$.

1. Найдем производную функции:

$y' = (-x^2 + 3x)' = -2x + 3$.

2. Найдем промежутки, где $y' \le 0$:

$-2x + 3 \le 0$

$-2x \le -3$

$x \ge 1.5$

Таким образом, функция убывает на промежутке $[1.5; +\infty)$.

3. По условию, функция рассматривается на промежутке $(-\infty; 1]$.

Найдем пересечение промежутка убывания $[1.5; +\infty)$ и области определения $(-\infty; 1]$. Их пересечение является пустым множеством.

Следовательно, на заданном промежутке функция не имеет промежутков убывания.

Ответ: промежутков убывания нет.

3) Дана функция $y = x^4 + 3$, где $x \le -3$.

1. Найдем производную функции:

$y' = (x^4 + 3)' = 4x^3$.

2. Найдем промежутки, где $y' \le 0$:

$4x^3 \le 0$

$x^3 \le 0$

$x \le 0$

Таким образом, функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$.

3. По условию, функция рассматривается на промежутке $(-\infty; -3]$.

Найдем пересечение промежутка убывания $(-\infty; 0]$ и области определения $(-\infty; -3]$.

Пересечением является промежуток $(-\infty; -3]$.

Ответ: $(-\infty; -3]$.

4) Дана функция $y = -x^4 + 8$, где $x \ge 2$.

1. Найдем производную функции:

$y' = (-x^4 + 8)' = -4x^3$.

2. Найдем промежутки, где $y' \le 0$:

$-4x^3 \le 0$

$x^3 \ge 0$

$x \ge 0$

Таким образом, функция убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

3. По условию, функция рассматривается на промежутке $[2; +\infty)$.

Найдем пересечение промежутка убывания $[0; +\infty)$ и области определения $[2; +\infty)$.

Пересечением является промежуток $[2; +\infty)$.

Ответ: $[2; +\infty)$.