Номер 7.21, страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.21. Постройте график и запишите точки экстремума функции:

1) $y = 2x^2 - 4x + 3$;

2) $y = -x^2 - 2x + 5$;

3) $y = -2x^2 + 3x - 4$.

1) $y = 2x^2 - 4x + 3$

Это квадратичная функция, её график – парабола. Коэффициенты: $a=2, b=-4, c=3$.

1. Направление ветвей. Так как старший коэффициент $a=2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины. Вершина параболы является её точкой экстремума. Поскольку ветви направлены вверх, это будет точка минимума. Найдем её координаты $(x_v, y_v)$ по формулам:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$y_v = y(x_v) = 2(1)^2 - 4(1) + 3 = 2 - 4 + 3 = 1$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, 1)$. Это точка минимума функции. Ось симметрии параболы – вертикальная прямая $x=1$.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью ординат (Oy): подставляем $x=0$ в уравнение функции: $y(0) = 2(0)^2 - 4(0) + 3 = 3$. Точка пересечения – $(0, 3)$.

- С осью абсцисс (Ox): подставляем $y=0$ и решаем уравнение $2x^2 - 4x + 3 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 16 - 24 = -8$. Так как $D < 0$, действительных корней нет, и график не пересекает ось Ox.

4. Дополнительные точки для построения. Для более точного построения графика найдём ещё несколько точек. Используем симметрию графика относительно оси $x=1$.

- Точка, симметричная точке пересечения с осью Oy $(0, 3)$ относительно оси $x=1$, имеет абсциссу $x=2$. Её ордината такая же, $y=3$. Проверим: $y(2) = 2(2)^2 - 4(2) + 3 = 8 - 8 + 3 = 3$. Получили точку $(2, 3)$.

- Возьмём $x=-1$: $y(-1) = 2(-1)^2 - 4(-1) + 3 = 2 + 4 + 3 = 9$. Точка $(-1, 9)$.

5. Построение графика. На координатной плоскости отмечаем вершину $(1, 1)$, точки $(0, 3)$, $(2, 3)$ и $(-1, 9)$. Соединяем их плавной кривой, учитывая, что ветви идут вверх.

Точкой экстремума функции является её вершина. Так как ветви параболы направлены вверх, это точка минимума.

Ответ: точка минимума $(1, 1)$.

2) $y = -x^2 - 2x + 5$

Это квадратичная функция, её график – парабола. Коэффициенты: $a=-1, b=-2, c=5$.

1. Направление ветвей. Так как старший коэффициент $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины. Вершина параболы является её точкой экстремума. Поскольку ветви направлены вниз, это будет точка максимума. Найдем её координаты $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-2}{-2} = -1$

$y_v = y(x_v) = -(-1)^2 - 2(-1) + 5 = -1 + 2 + 5 = 6$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1, 6)$. Это точка максимума функции. Ось симметрии – прямая $x=-1$.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = -(0)^2 - 2(0) + 5 = 5$. Точка пересечения – $(0, 5)$.

- С осью Ox (при $y=0$): $-x^2 - 2x + 5 = 0$ или $x^2 + 2x - 5 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24$. Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -1 \pm \sqrt{6}$. Точки пересечения – $(-1 - \sqrt{6}, 0)$ и $(-1 + \sqrt{6}, 0)$, что примерно равно $(-3.45, 0)$ и $(1.45, 0)$.

4. Дополнительные точки для построения. Используем симметрию графика относительно оси $x=-1$.

- Точка, симметричная точке $(0, 5)$, имеет абсциссу $x=-2$. Её ордината $y=5$. Проверим: $y(-2) = -(-2)^2 - 2(-2) + 5 = -4 + 4 + 5 = 5$. Получили точку $(-2, 5)$.

- Возьмём $x=1$: $y(1) = -(1)^2 - 2(1) + 5 = -1 - 2 + 5 = 2$. Точка $(1, 2)$. Симметричная ей точка $(-3, 2)$.

5. Построение графика. На координатной плоскости отмечаем вершину $(-1, 6)$, точки пересечения с осями $(0, 5)$, $(-1-\sqrt{6}, 0)$, $(-1+\sqrt{6}, 0)$ и дополнительные точки $(-2, 5)$, $(1, 2)$. Соединяем их плавной кривой, учитывая, что ветви идут вниз.

Точкой экстремума функции является её вершина. Так как ветви параболы направлены вниз, это точка максимума.

Ответ: точка максимума $(-1, 6)$.

3) $y = -2x^2 + 3x - 4$

Это квадратичная функция, её график – парабола. Коэффициенты: $a=-2, b=3, c=-4$.

1. Направление ветвей. Так как старший коэффициент $a=-2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины. Вершина параболы является её точкой экстремума. Поскольку ветви направлены вниз, это будет точка максимума. Найдем её координаты $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot (-2)} = \frac{3}{4} = 0.75$

$y_v = y(x_v) = -2(\frac{3}{4})^2 + 3(\frac{3}{4}) - 4 = -2(\frac{9}{16}) + \frac{9}{4} - 4 = -\frac{9}{8} + \frac{18}{8} - \frac{32}{8} = \frac{9-32}{8} = -\frac{23}{8} = -2.875$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(\frac{3}{4}, -\frac{23}{8})$. Это точка максимума функции. Ось симметрии – прямая $x=\frac{3}{4}$.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = -2(0)^2 + 3(0) - 4 = -4$. Точка пересечения – $(0, -4)$.

- С осью Ox (при $y=0$): $-2x^2 + 3x - 4 = 0$ или $2x^2 - 3x + 4 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 - 32 = -23$. Так как $D < 0$, действительных корней нет, и график не пересекает ось Ox.

4. Дополнительные точки для построения. Используем симметрию графика относительно оси $x=0.75$.

- Точка, симметричная точке $(0, -4)$, имеет абсциссу $x = 2 \cdot 0.75 - 0 = 1.5$. Её ордината $y=-4$. Проверим: $y(1.5) = -2(1.5)^2 + 3(1.5) - 4 = -2(2.25) + 4.5 - 4 = -4.5 + 4.5 - 4 = -4$. Получили точку $(1.5, -4)$.

- Возьмём $x=-1$: $y(-1) = -2(-1)^2 + 3(-1) - 4 = -2 - 3 - 4 = -9$. Точка $(-1, -9)$.

5. Построение графика. На координатной плоскости отмечаем вершину $(0.75, -2.875)$, точки $(0, -4)$, $(1.5, -4)$ и $(-1, -9)$. Соединяем их плавной кривой, учитывая, что ветви идут вниз.

Точкой экстремума функции является её вершина. Так как ветви параболы направлены вниз, это точка максимума.

Ответ: точка максимума $(\frac{3}{4}, -\frac{23}{8})$.