Номер 7.15, страница 67, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.15.1) $y = x\sqrt{x^4 + 1};$

2) $y = x\sqrt{x^2 - 2} + 44x;$

3) $y = x^3|x|;$

4) $y = -\frac{1}{x}|x|.$

1) Дана функция $y = x\sqrt{x^4 + 1}$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = \sqrt{x^4 + 1}$.

Находим производные этих функций:

$u'(x) = (x)' = 1$.

Производная $v(x)$ находится по цепному правилу: $(\sqrt{f(x)})' = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$.

$v'(x) = (\sqrt{x^4 + 1})' = \frac{(x^4 + 1)'}{2\sqrt{x^4 + 1}} = \frac{4x^3}{2\sqrt{x^4 + 1}} = \frac{2x^3}{\sqrt{x^4 + 1}}$.

Теперь подставляем найденные производные в формулу для производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \sqrt{x^4 + 1} + x \cdot \frac{2x^3}{\sqrt{x^4 + 1}}$.

$y' = \sqrt{x^4 + 1} + \frac{2x^4}{\sqrt{x^4 + 1}}$.

Приведем выражение к общему знаменателю для упрощения:

$y' = \frac{(\sqrt{x^4 + 1})^2 + 2x^4}{\sqrt{x^4 + 1}} = \frac{x^4 + 1 + 2x^4}{\sqrt{x^4 + 1}} = \frac{3x^4 + 1}{\sqrt{x^4 + 1}}$.

Ответ: $y' = \frac{3x^4 + 1}{\sqrt{x^4 + 1}}$.

2) Дана функция $y = x\sqrt{x^2 - 2} + 44x$.

Область определения функции: $x^2 - 2 \ge 0$, то есть $x \in (-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, \infty)$.

Используем правило дифференцирования суммы $(f+g)' = f' + g'$.

Найдем производную первого слагаемого $f(x) = x\sqrt{x^2 - 2}$. Это произведение функций $u(x)=x$ и $v(x)=\sqrt{x^2 - 2}$.

$u'(x) = 1$.

$v'(x) = (\sqrt{x^2 - 2})' = \frac{(x^2 - 2)'}{2\sqrt{x^2 - 2}} = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - 2}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 2}}$.

По правилу произведения:

$f'(x) = u'v + uv' = 1 \cdot \sqrt{x^2 - 2} + x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 - 2}} = \sqrt{x^2 - 2} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2 - 2}}$.

Приведем к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{(\sqrt{x^2 - 2})^2 + x^2}{\sqrt{x^2 - 2}} = \frac{x^2 - 2 + x^2}{\sqrt{x^2 - 2}} = \frac{2x^2 - 2}{\sqrt{x^2 - 2}}$.

Теперь найдем производную второго слагаемого $g(x) = 44x$.

$g'(x) = (44x)' = 44$.

Складываем производные:

$y' = f'(x) + g'(x) = \frac{2x^2 - 2}{\sqrt{x^2 - 2}} + 44$.

Ответ: $y' = \frac{2x^2 - 2}{\sqrt{x^2 - 2}} + 44$.

3) Дана функция $y = x^3|x|$.

Для нахождения производной раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. При $x > 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид $y = x^3 \cdot x = x^4$. Ее производная $y' = (x^4)' = 4x^3$.

2. При $x < 0$, $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = x^3 \cdot (-x) = -x^4$. Ее производная $y' = (-x^4)' = -4x^3$.

3. Рассмотрим точку $x = 0$. Сначала проверим непрерывность функции. $y(0) = 0^3|0| = 0$. Пределы слева и справа: $\lim_{x\to 0^-} (-x^4) = 0$ и $\lim_{x\to 0^+} (x^4) = 0$. Так как пределы равны значению функции, она непрерывна в точке $x=0$.

Теперь проверим дифференцируемость в точке $x = 0$, используя определение производной.

Правосторонняя производная: $y'_+(0) = \lim_{h\to 0^+} \frac{y(0+h) - y(0)}{h} = \lim_{h\to 0^+} \frac{(0+h)^4 - 0}{h} = \lim_{h\to 0^+} \frac{h^4}{h} = \lim_{h\to 0^+} h^3 = 0$.

Левосторонняя производная: $y'_-(0) = \lim_{h\to 0^-} \frac{y(0+h) - y(0)}{h} = \lim_{h\to 0^-} \frac{-(0+h)^4 - 0}{h} = \lim_{h\to 0^-} \frac{-h^4}{h} = \lim_{h\to 0^-} (-h^3) = 0$.

Поскольку односторонние производные равны, функция дифференцируема в точке $x = 0$ и $y'(0) = 0$.

Объединяя результаты, получаем производную:

$y' = \begin{cases} 4x^3, & \text{если } x \ge 0 \\ -4x^3, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Это выражение можно записать в компактной форме. Заметим, что при $x \ge 0$, $4x^3 = 4x^2 \cdot x = 4x^2|x|$, а при $x < 0$, $-4x^3 = 4x^2 \cdot (-x) = 4x^2|x|$. Таким образом, для любого действительного $x$ производная равна $y' = 4x^2|x|$.

Ответ: $y' = 4x^2|x|$.

4) Дана функция $y = -\frac{1}{x}|x|$.

Область определения функции: $x \neq 0$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x > 0$.

В этом случае $|x| = x$. Функция принимает вид:

$y = -\frac{1}{x} \cdot x = -1$.

Производная константы равна нулю: $y' = (-1)' = 0$.

Случай 2: $x < 0$.

В этом случае $|x| = -x$. Функция принимает вид:

$y = -\frac{1}{x} \cdot (-x) = 1$.

Производная константы равна нулю: $y' = (1)' = 0$.

Таким образом, для всех $x$ из области определения функции ($x \neq 0$) производная равна 0.

Ответ: $y' = 0$ (при $x \neq 0$).