Номер 7.9, страница 66, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.9. Постройте график и перечислите свойства функции:

1) $y = \begin{cases} x^2 + 2, & \text{если } -2 \le x < 1, \\ -x + 3, & \text{если } 1 \le x \le 8; \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} 4x + 5, & \text{если } -3 \le x \le 0, \\ -x^3 + 1, & \text{если } 0 < x \le 2. \end{cases}$

1) Дана функция $y = \begin{cases} x^2 + 2, & \text{если } -2 \le x < 1, \\ -x + 3, & \text{если } 1 \le x \le 8. \end{cases}$

Построение графика:

График состоит из двух частей.

1. На промежутке $[-2, 1)$ строим график функции $y = x^2 + 2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, 2)$. Вычислим значения на концах промежутка:

При $x = -2$, $y = (-2)^2 + 2 = 6$. Точка $(-2, 6)$ принадлежит графику (включительная).

При $x \to 1^-$, $y \to 1^2 + 2 = 3$. Точка $(1, 3)$ не принадлежит графику (выколотая).

2. На промежутке $[1, 8]$ строим график функции $y = -x + 3$. Это отрезок прямой. Вычислим значения на концах промежутка:

При $x = 1$, $y = -1 + 3 = 2$. Точка $(1, 2)$ принадлежит графику (включительная).

При $x = 8$, $y = -8 + 3 = -5$. Точка $(8, -5)$ принадлежит графику (включительная).

В точке $x=1$ функция имеет разрыв (скачок).

Свойства функции:

1. Область определения: $D(y) = [-2, 1) \cup [1, 8] = [-2, 8]$.

2. Область значений: На промежутке $[-2, 1)$ функция принимает значения от $y(0)=2$ до $y(-2)=6$. На промежутке $[1, 8]$ функция принимает значения от $y(8)=-5$ до $y(1)=2$. Объединяя эти множества, получаем $E(y) = [-5, 6]$.

3. Нули функции: Решим уравнение $y=0$. На первом промежутке $x^2 + 2 = 0$ не имеет действительных корней. На втором промежутке $-x + 3 = 0 \implies x = 3$. Корень $x=3$ принадлежит промежутку $[1, 8]$. Таким образом, у функции один нуль: $x=3$.

4. Промежутки знакопостоянства:

$y > 0$ при $x \in [-2, 3)$.

$y < 0$ при $x \in (3, 8]$.

$y=0$ при $x=3$.

5. Промежутки монотонности (возрастания и убывания):

Функция возрастает на промежутке $[0, 1)$.

Функция убывает на промежутках $[-2, 0]$ и $[1, 8]$.

6. Точки экстремума:

$x_{max} = -2$, $y_{max} = 6$ (наибольшее значение функции).

$x_{min} = 0$, $y_{min} = 2$ (локальный минимум).

$x_{min} = 8$, $y_{min} = -5$ (наименьшее значение функции).

7. Четность, нечетность: Область определения $D(y) = [-2, 8]$ несимметрична относительно начала координат, следовательно, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

8. Непрерывность: Функция непрерывна на всех точках области определения, кроме точки $x=1$. В точке $x=1$ функция терпит разрыв первого рода (скачок), так как предел слева $\lim_{x\to1^-} y(x) = 3$, а значение функции в точке $y(1)=2$.

Ответ: График функции состоит из участка параболы $y=x^2+2$ на интервале $[-2, 1)$ и отрезка прямой $y=-x+3$ на отрезке $[1, 8]$. Свойства функции: 1) $D(y) = [-2, 8]$; 2) $E(y) = [-5, 6]$; 3) Нуль функции $x=3$; 4) $y>0$ при $x \in [-2, 3)$, $y<0$ при $x \in (3, 8]$; 5) Функция возрастает на $[0, 1)$ и убывает на $[-2, 0]$ и $[1, 8]$; 6) Наибольшее значение $y(-2)=6$, наименьшее значение $y(8)=-5$; 7) Функция общего вида; 8) Функция имеет разрыв первого рода в точке $x=1$.

2) Дана функция $y = \begin{cases} 4x + 5, & \text{если } -3 \le x \le 0, \\ -x^3 + 1, & \text{если } 0 < x \le 2. \end{cases}$

Построение графика:

График состоит из двух частей.

1. На промежутке $[-3, 0]$ строим график функции $y = 4x + 5$. Это отрезок прямой. Вычислим значения на концах промежутка:

При $x = -3$, $y = 4(-3) + 5 = -7$. Точка $(-3, -7)$ принадлежит графику (включительная).

При $x = 0$, $y = 4(0) + 5 = 5$. Точка $(0, 5)$ принадлежит графику (включительная).

2. На промежутке $(0, 2]$ строим график функции $y = -x^3 + 1$. Это часть кубической параболы. Вычислим значения на концах промежутка:

При $x \to 0^+$, $y \to -(0)^3 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$ не принадлежит графику (выколотая).

При $x = 2$, $y = -(2)^3 + 1 = -8 + 1 = -7$. Точка $(2, -7)$ принадлежит графику (включительная).

В точке $x=0$ функция имеет разрыв (скачок).

Свойства функции:

1. Область определения: $D(y) = [-3, 0] \cup (0, 2] = [-3, 2]$.

2. Область значений: На промежутке $[-3, 0]$ функция принимает значения от $y(-3)=-7$ до $y(0)=5$. На промежутке $(0, 2]$ функция принимает значения от $y(2)=-7$ до $y \to 1$ при $x \to 0^+$. Объединяя эти множества, получаем $E(y) = [-7, 5]$.

3. Нули функции: Решим уравнение $y=0$. На первом промежутке $4x + 5 = 0 \implies x = -5/4 = -1.25$. Корень $x=-1.25$ принадлежит промежутку $[-3, 0]$. На втором промежутке $-x^3 + 1 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x = 1$. Корень $x=1$ принадлежит промежутку $(0, 2]$. Таким образом, у функции два нуля: $x=-1.25$ и $x=1$.

4. Промежутки знакопостоянства:

$y > 0$ при $x \in (-1.25, 1)$.

$y < 0$ при $x \in [-3, -1.25) \cup (1, 2]$.

$y=0$ при $x=-1.25$ и $x=1$.

5. Промежутки монотонности (возрастания и убывания):

Функция возрастает на промежутке $[-3, 0]$.

Функция убывает на промежутке $(0, 2]$.

6. Точки экстремума:

$x_{max} = 0$, $y_{max} = 5$ (наибольшее значение функции).

$x_{min} = -3$ и $x_{min} = 2$, $y_{min} = -7$ (наименьшее значение функции).

7. Четность, нечетность: Область определения $D(y) = [-3, 2]$ несимметрична относительно начала координат, следовательно, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

8. Непрерывность: Функция непрерывна на всех точках области определения, кроме точки $x=0$. В точке $x=0$ функция терпит разрыв первого рода (скачок), так как значение функции в точке $y(0)=5$, а предел справа $\lim_{x\to0^+} y(x) = 1$.

Ответ: График функции состоит из отрезка прямой $y=4x+5$ на отрезке $[-3, 0]$ и участка кубической кривой $y=-x^3+1$ на интервале $(0, 2]$. Свойства функции: 1) $D(y) = [-3, 2]$; 2) $E(y) = [-7, 5]$; 3) Нули функции $x=-1.25$ и $x=1$; 4) $y>0$ при $x \in (-1.25, 1)$, $y<0$ при $x \in [-3, -1.25) \cup (1, 2]$; 5) Функция возрастает на $[-3, 0]$ и убывает на $(0, 2]$; 6) Наибольшее значение $y(0)=5$, наименьшее значение $y(-3)=y(2)=-7$; 7) Функция общего вида; 8) Функция имеет разрыв первого рода в точке $x=0$.