Номер 7.4, страница 65, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Используя свойства верных числовых неравенств, докажите, что убывают функции (7.4–7.5):

7.4.1)

1) $y = 2.5 - 4x$; 2) $y = -3x + 2$; 3) $y = -7 - x$; 4) $y = -3.5x + 8$; 5) $y = -x^3 + 2$; 6) $y = -2x^3$; 7) $y = -6 - x^3$; 8) $y = -x^3 - 4$.

Для доказательства того, что функция является убывающей, необходимо показать, что для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения функции, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) > y(x_2)$. Мы будем использовать свойства числовых неравенств.

1) Рассмотрим функцию $y = 2,5 - 4x$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — произвольные числа, такие, что $x_1 < x_2$.

1. Умножим обе части верного неравенства $x_1 < x_2$ на -4. Так как мы умножаем на отрицательное число, знак неравенства изменится на противоположный: $-4x_1 > -4x_2$.

2. Прибавим к обеим частям полученного неравенства число 2,5. Знак неравенства при этом не изменится: $2,5 - 4x_1 > 2,5 - 4x_2$.

Таким образом, мы получили, что $y(x_1) > y(x_2)$. Поскольку из $x_1 < x_2$ следует $y(x_1) > y(x_2)$, данная функция является убывающей. Ответ: Доказано, что функция убывает.

2) Рассмотрим функцию $y = -3x + 2$. Пусть $x_1 < x_2$.

1. Умножим неравенство на -3, изменив его знак: $-3x_1 > -3x_2$.

2. Прибавим 2 к обеим частям: $-3x_1 + 2 > -3x_2 + 2$.

Следовательно, $y(x_1) > y(x_2)$, и функция убывает. Ответ: Доказано, что функция убывает.

3) Рассмотрим функцию $y = -7 - x$. Пусть $x_1 < x_2$.

1. Умножим неравенство на -1, изменив его знак: $-x_1 > -x_2$.

2. Вычтем 7 из обеих частей (что равносильно прибавлению -7): $-7 - x_1 > -7 - x_2$.

Следовательно, $y(x_1) > y(x_2)$, и функция убывает. Ответ: Доказано, что функция убывает.

4) Рассмотрим функцию $y = -3,5x + 8$. Пусть $x_1 < x_2$.

1. Умножим неравенство на -3,5, изменив его знак: $-3,5x_1 > -3,5x_2$.

2. Прибавим 8 к обеим частям: $-3,5x_1 + 8 > -3,5x_2 + 8$.

Следовательно, $y(x_1) > y(x_2)$, и функция убывает. Ответ: Доказано, что функция убывает.

5) Рассмотрим функцию $y = -x^3 + 2$. Пусть $x_1 < x_2$.

1. Функция $g(x) = x^3$ является возрастающей, поэтому из $x_1 < x_2$ следует $x_1^3 < x_2^3$.

2. Умножим неравенство $x_1^3 < x_2^3$ на -1, изменив его знак: $-x_1^3 > -x_2^3$.

3. Прибавим 2 к обеим частям: $-x_1^3 + 2 > -x_2^3 + 2$.

Следовательно, $y(x_1) > y(x_2)$, и функция убывает. Ответ: Доказано, что функция убывает.

6) Рассмотрим функцию $y = -2x^3$. Пусть $x_1 < x_2$.

1. Поскольку функция $g(x) = x^3$ возрастающая, то $x_1^3 < x_2^3$.

2. Умножим неравенство на -2, изменив его знак: $-2x_1^3 > -2x_2^3$.

Следовательно, $y(x_1) > y(x_2)$, и функция убывает. Ответ: Доказано, что функция убывает.

7) Рассмотрим функцию $y = -6 - x^3$. Пусть $x_1 < x_2$.

1. Поскольку функция $g(x) = x^3$ возрастающая, то $x_1^3 < x_2^3$.

2. Умножим неравенство на -1, изменив его знак: $-x_1^3 > -x_2^3$.

3. Вычтем 6 из обеих частей: $-x_1^3 - 6 > -x_2^3 - 6$, или $ -6 - x_1^3 > -6 - x_2^3$.

Следовательно, $y(x_1) > y(x_2)$, и функция убывает. Ответ: Доказано, что функция убывает.

8) Рассмотрим функцию $y = -x^3 - 4$. Пусть $x_1 < x_2$.

1. Поскольку функция $g(x) = x^3$ возрастающая, то $x_1^3 < x_2^3$.

2. Умножим неравенство на -1, изменив его знак: $-x_1^3 > -x_2^3$.

3. Вычтем 4 из обеих частей: $-x_1^3 - 4 > -x_2^3 - 4$.

Следовательно, $y(x_1) > y(x_2)$, и функция убывает. Ответ: Доказано, что функция убывает.