Номер 7.7, страница 66, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.7.1) $y = x^2 - 4x + 5.25$, где $-1 \le x \le 4$;

2) $y = -x^2 - x + 3.75$, где $-5 \le x < 1$;

3) $y = x^2 + 6x + 6$, где $-6 \le x \le 0$;

4) $y = -x^2 - 8x - 18.5$, где $1 \le x \le 3$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ на заданном отрезке $[x_1; x_2]$ необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти абсциссу вершины параболы по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.
2. Проверить, принадлежит ли $x_v$ заданному отрезку $[x_1; x_2]$.
3. Вычислить значения функции в точке $x_v$ (если она принадлежит отрезку) и на концах отрезка $y(x_1)$ и $y(x_2)$.
4. Среди полученных значений выбрать наименьшее и наибольшее.

1) $y = x^2 - 4x + 5.25$, где $-1 \le x \le 4$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент $a = 1 > 0$.

Найдём абсциссу вершины: $x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

Значение $x_v = 2$ принадлежит отрезку $[-1; 4]$. Так как ветви параболы направлены вверх, в этой точке функция принимает своё наименьшее значение на отрезке.

$y_{min} = y(2) = 2^2 - 4(2) + 5.25 = 4 - 8 + 5.25 = 1.25$.

Наибольшее значение будет на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции в точках $x = -1$ и $x = 4$.

$y(-1) = (-1)^2 - 4(-1) + 5.25 = 1 + 4 + 5.25 = 10.25$.

$y(4) = 4^2 - 4(4) + 5.25 = 16 - 16 + 5.25 = 5.25$.

Сравнивая значения $10.25$ и $5.25$, получаем, что наибольшее значение равно $10.25$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $1.25$, наибольшее значение равно $10.25$.

2) $y = -x^2 - x + 3.75$, где $-5 \le x \le 1$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент $a = -1 < 0$.

Найдём абсциссу вершины: $x_v = -\frac{-1}{2 \cdot (-1)} = -0.5$.

Значение $x_v = -0.5$ принадлежит отрезку $[-5; 1]$. Так как ветви параболы направлены вниз, в этой точке функция принимает своё наибольшее значение на отрезке.

$y_{max} = y(-0.5) = -(-0.5)^2 - (-0.5) + 3.75 = -0.25 + 0.5 + 3.75 = 4$.

Наименьшее значение будет на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции в точках $x = -5$ и $x = 1$.

$y(-5) = -(-5)^2 - (-5) + 3.75 = -25 + 5 + 3.75 = -16.25$.

$y(1) = -(1)^2 - 1 + 3.75 = -1 - 1 + 3.75 = 1.75$.

Сравнивая значения $-16.25$ и $1.75$, получаем, что наименьшее значение равно $-16.25$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-16.25$, наибольшее значение равно $4$.

3) $y = x^2 + 6x + 6$, где $-6 \le x \le 0$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх ($a = 1 > 0$).

Найдём абсциссу вершины: $x_v = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$.

Значение $x_v = -3$ принадлежит отрезку $[-6; 0]$. В этой точке достигается наименьшее значение функции на отрезке.

$y_{min} = y(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 6 = 9 - 18 + 6 = -3$.

Наибольшее значение будет на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции в точках $x = -6$ и $x = 0$.

$y(-6) = (-6)^2 + 6(-6) + 6 = 36 - 36 + 6 = 6$.

$y(0) = 0^2 + 6(0) + 6 = 6$.

Значения на концах отрезка совпадают и равны $6$, что и является наибольшим значением.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-3$, наибольшее значение равно $6$.

4) $y = -x^2 - 8x - 18.5$, где $1 \le x \le 3$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз ($a = -1 < 0$).

Найдём абсциссу вершины: $x_v = -\frac{-8}{2 \cdot (-1)} = -4$.

Значение $x_v = -4$ не принадлежит отрезку $[1; 3]$. Это означает, что на данном отрезке функция монотонно изменяется.

Так как ветви параболы направлены вниз, а вершина находится слева от отрезка ($x_v < 1$), функция на отрезке $[1; 3]$ является убывающей. Следовательно, наибольшее значение она принимает на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

$y_{max} = y(1) = -(1)^2 - 8(1) - 18.5 = -1 - 8 - 18.5 = -27.5$.

$y_{min} = y(3) = -(3)^2 - 8(3) - 18.5 = -9 - 24 - 18.5 = -51.5$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-51.5$, наибольшее значение равно $-27.5$.