Номер 7.6, страница 66, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Выясните, являются ли ограниченной снизу, ограниченной сверху

или ограниченной функции (7.6—7.7):

7.6. 1) $y = 5 + x$;

2) $y = -x + 9$;

3) $y = -1 - x^2$;

4) $y = x^2 + 3$;

5) $y = \sqrt{x} - 2$;

6) $y = -\sqrt{x} + 1$;

7) $y = \frac{2}{x}$, $x \le 0$;

8) $y = -\frac{3}{x}$, $x \ge 0$;

9) $y = |x| - 5$;

10) $y = -|x| + 2$;

11) $y = -|x| + 6$, где $-1 \le x \le 6$;

12) $y = |x| - 7$, где $-3 \le x \le 2$.

1) Функция $y = 5 + x$ является линейной. Ее область определения и область значений — все действительные числа, то есть $D(y) = (-\infty, +\infty)$ и $E(y) = (-\infty, +\infty)$. Когда $x$ стремится к $+\infty$, $y$ также стремится к $+\infty$. Когда $x$ стремится к $-\infty$, $y$ также стремится к $-\infty$. Таким образом, не существует такого числа $M$, чтобы $y \le M$, и не существует такого числа $m$, чтобы $y \ge m$. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

Ответ: не ограничена ни снизу, ни сверху.

2) Функция $y = -x + 9$ является линейной. Ее область определения и область значений — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$ и $E(y) = (-\infty, +\infty)$. Когда $x$ стремится к $+\infty$, $y$ стремится к $-\infty$. Когда $x$ стремится к $-\infty$, $y$ стремится к $+\infty$. Таким образом, функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

Ответ: не ограничена ни снизу, ни сверху.

3) Функция $y = -1 - x^2$ — квадратичная. Ее график — парабола с ветвями, направленными вниз. Максимальное значение достигается в вершине параболы. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$. Тогда $-x^2 \le 0$, и $-1 - x^2 \le -1$. Наибольшее значение функции равно -1 (при $x=0$). Таким образом, функция ограничена сверху числом -1. Поскольку при $x \to \pm\infty$ значение $y \to -\infty$, функция не ограничена снизу.

Ответ: ограничена сверху.

4) Функция $y = x^2 + 3$ — квадратичная. Ее график — парабола с ветвями, направленными вверх. Минимальное значение достигается в вершине параболы. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $x^2 + 3 \ge 3$. Наименьшее значение функции равно 3 (при $x=0$). Таким образом, функция ограничена снизу числом 3. Поскольку при $x \to \pm\infty$ значение $y \to +\infty$, функция не ограничена сверху.

Ответ: ограничена снизу.

5) Функция $y = \sqrt{x} - 2$. Область определения функции: $x \ge 0$. Арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ принимает неотрицательные значения, $\sqrt{x} \ge 0$. Следовательно, $\sqrt{x} - 2 \ge -2$. Наименьшее значение функции равно -2 (при $x=0$). Функция ограничена снизу. При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$, поэтому функция не ограничена сверху.

Ответ: ограничена снизу.

6) Функция $y = -\sqrt{x} + 1$. Область определения: $x \ge 0$. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, то $-\sqrt{x} \le 0$. Следовательно, $-\sqrt{x} + 1 \le 1$. Наибольшее значение функции равно 1 (при $x=0$). Функция ограничена сверху. При $x \to +\infty$, $y \to -\infty$, поэтому функция не ограничена снизу.

Ответ: ограничена сверху.

7) Функция $y = \frac{2}{x}$ задана при условии $x \le 0$. Так как знаменатель не может быть равен нулю, область определения этой функции — $x < 0$. Для всех $x$ из этого промежутка значение $y$ будет отрицательным, то есть $y < 0$. Таким образом, функция ограничена сверху, например, числом 0. При $x \to 0$ (слева), $y \to -\infty$. Значит, функция не ограничена снизу.

Ответ: ограничена сверху.

8) Функция $y = -\frac{3}{x}$ задана при условии $x > 0$. Так как знаменатель не может быть равен нулю, область определения этой функции — $x > 0$. Для всех $x$ из этого промежутка значение $y = -3/x$ будет отрицательным, $y < 0$. Таким образом, функция ограничена сверху, например, числом 0. При $x \to 0$ (справа), $y \to -\infty$. Значит, функция не ограничена снизу.

Ответ: ограничена сверху.

9) Функция $y = |x| - 5$. Модуль числа $|x|$ всегда неотрицателен: $|x| \ge 0$. Следовательно, $|x| - 5 \ge -5$. Наименьшее значение функции равно -5 (при $x=0$). Функция ограничена снизу. При $x \to \pm\infty$, $y \to +\infty$, поэтому функция не ограничена сверху.

Ответ: ограничена снизу.

10) Функция $y = -|x| + 2$. Так как $|x| \ge 0$, то $-|x| \le 0$. Следовательно, $-|x| + 2 \le 2$. Наибольшее значение функции равно 2 (при $x=0$). Функция ограничена сверху. При $x \to \pm\infty$, $y \to -\infty$, поэтому функция не ограничена снизу.

Ответ: ограничена сверху.

11) Функция $y = -|x| + 6$ рассматривается на отрезке $[-1, 6]$. Непрерывная функция на замкнутом отрезке всегда ограничена. Найдем ее наибольшее и наименьшее значения. Наибольшее значение для функции вида $-|x|+c$ достигается при $x=0$. $y(0) = -|0| + 6 = 6$. Это наибольшее значение, так как $0 \in [-1, 6]$. Наименьшее значение будет на одном из концов отрезка. Вычислим значения в точках $x=-1$ и $x=6$: $y(-1) = -|-1| + 6 = 5$; $y(6) = -|6| + 6 = 0$. Наименьшее значение равно 0. Таким образом, для всех $x \in [-1, 6]$ выполняется $0 \le y(x) \le 6$. Функция ограничена и снизу, и сверху.

Ответ: ограниченная функция.

12) Функция $y = |x| - 7$ рассматривается на отрезке $[-3, 2]$. Функция непрерывна на замкнутом отрезке, следовательно, она ограничена. Найдем ее наибольшее и наименьшее значения. Наименьшее значение для функции вида $|x|+c$ достигается при $x=0$. $y(0) = |0| - 7 = -7$. Это наименьшее значение, так как $0 \in [-3, 2]$. Наибольшее значение будет на одном из концов отрезка, наиболее удаленном от нуля. Вычислим значения в точках $x=-3$ и $x=2$: $y(-3) = |-3| - 7 = 3 - 7 = -4$; $y(2) = |2| - 7 = 2 - 7 = -5$. Наибольшее значение равно -4. Таким образом, для всех $x \in [-3, 2]$ выполняется $-7 \le y(x) \le -4$. Функция ограничена и снизу, и сверху.

Ответ: ограниченная функция.