Номер 7.13, страница 67, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.13.1) $y = |x| + x^2;$

2) $y = x^4 - |x|;$

3) $y = \sqrt{x^2 + 9} - x^2;$

4) $y = \sqrt{x+9} + \sqrt{9-x}.$

1) Для того чтобы определить, является ли функция $y = f(x) = |x| + x^2$ четной или нечетной, необходимо проверить ее область определения на симметричность и выполнение равенств $f(-x) = f(x)$ (для четной) или $f(-x) = -f(x)$ (для нечетной).

Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$, так как выражения $|x|$ и $x^2$ определены для любого $x$. Эта область симметрична относительно начала координат.

Найдем значение функции для $-x$:

$f(-x) = |-x| + (-x)^2$.

Используя свойства модуля $|-a| = |a|$ и свойства степени $(-a)^{2n} = a^{2n}$, получаем:

$f(-x) = |x| + x^2$.

Сравнивая $f(-x)$ с $f(x)$, видим, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является четной.

Ответ: четная.

2) Рассмотрим функцию $y = f(x) = x^4 - |x|$.

Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$, так как выражения $x^4$ и $|x|$ определены для любого $x$. Область определения симметрична.

Найдем значение функции для $-x$:

$f(-x) = (-x)^4 - |-x|$.

Так как степень четная, $(-x)^4 = x^4$, и по свойству модуля, $|-x| = |x|$.

Тогда, $f(-x) = x^4 - |x|$.

Сравнивая $f(-x)$ с $f(x)$, получаем $f(-x) = f(x)$. Таким образом, функция является четной.

Ответ: четная.

3) Рассмотрим функцию $y = f(x) = \sqrt{x^2+9} - x^2$.

Найдем область определения. Выражение под корнем $x^2+9$ должно быть неотрицательным. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $x^2+9 \ge 9 > 0$. Следовательно, область определения $D(f)$ — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$. Область симметрична.

Проверим выполнение условия четности:

$f(-x) = \sqrt{(-x)^2+9} - (-x)^2$.

Так как $(-x)^2 = x^2$, то:

$f(-x) = \sqrt{x^2+9} - x^2$.

Мы видим, что $f(-x) = f(x)$, значит, функция является четной.

Ответ: четная.

4) Рассмотрим функцию $y = f(x) = \sqrt{x+9} + \sqrt{9-x}$.

Найдем область определения функции. Выражения под знаками квадратного корня должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x+9 \ge 0 \\ 9-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -9 \\ x \le 9 \end{cases}$

Таким образом, область определения функции $D(f) = [-9; 9]$. Этот отрезок симметричен относительно начала координат.

Найдем значение функции для $-x$:

$f(-x) = \sqrt{(-x)+9} + \sqrt{9-(-x)} = \sqrt{9-x} + \sqrt{9+x}$.

Поскольку сложение коммутативно, $\sqrt{9-x} + \sqrt{9+x} = \sqrt{x+9} + \sqrt{9-x} = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.