Номер 7.16, страница 67, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.16.1) $y = -x|x| + x^3;$

2) $y = -x|x^3|;$

3) $y = \frac{x}{x^2 + 4} - x;$

4) $y = \sqrt{x+8} - \sqrt{8-x}.$

1) $y = -x|x| + x^3$

Для исследования функции на четность/нечетность необходимо проверить выполнение равенств $f(-x) = f(x)$ (четная) или $f(-x) = -f(x)$ (нечетная). Обозначим данную функцию как $f(x) = -x|x| + x^3$.

1. Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = -(-x)|-x| + (-x)^3$.

3. Упростим полученное выражение, используя свойства модуля $|-x| = |x|$ и нечетной степени $(-x)^3 = -x^3$:

$f(-x) = x|x| - x^3$.

4. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(x) = -x|x| + x^3$.

$-f(x) = -(-x|x| + x^3) = x|x| - x^3$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

2) $y = -x|x^3|$

Обозначим функцию как $f(x) = -x|x^3|$.

1. Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$. Область симметрична.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = -(-x)|(-x)^3|$.

3. Упростим выражение, используя свойства: $(-x)^3 = -x^3$ и $|-a| = |a|$.

$|(-x)^3| = |-x^3| = |x^3|$.

Следовательно, $f(-x) = -(-x)|x^3| = x|x^3|$.

4. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(x) = -x|x^3|$.

$-f(x) = -(-x|x^3|) = x|x^3|$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

3) $y = \frac{x}{x^2 + 4} - x$

Обозначим функцию как $f(x) = \frac{x}{x^2 + 4} - x$.

1. Знаменатель дроби $x^2 + 4$ никогда не равен нулю, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + 4 \ge 4$. Поэтому область определения $D(f)$ — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$. Область симметрична.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 + 4} - (-x)$.

3. Упростим выражение:

$f(-x) = \frac{-x}{x^2 + 4} + x = -(\frac{x}{x^2 + 4} - x)$.

4. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(x) = \frac{x}{x^2 + 4} - x$.

$-f(x) = -(\frac{x}{x^2 + 4} - x)$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

4) $y = \sqrt{x+8} - \sqrt{8-x}$

Обозначим функцию как $f(x) = \sqrt{x+8} - \sqrt{8-x}$.

1. Найдем область определения функции. Выражения под корнем должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x+8 \ge 0 \\ 8-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -8 \\ x \le 8 \end{cases}$.

Таким образом, область определения $D(f) = [-8; 8]$. Этот отрезок симметричен относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \sqrt{(-x)+8} - \sqrt{8-(-x)} = \sqrt{8-x} - \sqrt{x+8}$.

3. Преобразуем выражение, вынеся знак минус за скобки:

$f(-x) = -(\sqrt{x+8} - \sqrt{8-x})$.

4. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(x) = \sqrt{x+8} - \sqrt{8-x}$.

$-f(x) = -(\sqrt{x+8} - \sqrt{8-x})$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.