Номер 7.23, страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.23.1) $y = \frac{3x+7}{x+2};$

2) $y = \frac{6-x}{4-x};$

3) $y = \{4x\}.$

1) Дана функция $y = \frac{3x+7}{x+2}$. Это дробно-линейная функция, графиком которой является гипербола. Для нахождения области определения и области значений проанализируем функцию.

Область определения (D(y)):

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. В данном случае функция представляет собой дробь, поэтому знаменатель не может быть равен нулю.

$x+2 \neq 0$

$x \neq -2$

Таким образом, область определения функции — все действительные числа, кроме -2.

$D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; \infty)$.

Область значений (E(y)):

Область значений — это множество всех значений, которые может принимать функция $y$. Для её нахождения можно выразить $x$ через $y$:

$y(x+2) = 3x+7$

$yx + 2y = 3x+7$

$yx - 3x = 7 - 2y$

$x(y-3) = 7 - 2y$

$x = \frac{7 - 2y}{y-3}$

Данное выражение для $x$ определено при всех значениях $y$, кроме тех, которые обращают знаменатель в ноль.

$y-3 \neq 0$

$y \neq 3$

Также можно выделить целую часть дроби, чтобы найти горизонтальную асимптоту:

$y = \frac{3x+7}{x+2} = \frac{3(x+2) - 6 + 7}{x+2} = \frac{3(x+2) + 1}{x+2} = 3 + \frac{1}{x+2}$

Из этой записи видно, что график функции имеет горизонтальную асимптоту $y=3$, которую функция не пересекает. Таким образом, область значений — все действительные числа, кроме 3.

$E(y) = (-\infty; 3) \cup (3; \infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; \infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; 3) \cup (3; \infty)$.

2) Дана функция $y = \frac{6-x}{4-x}$. Это также дробно-линейная функция.

Область определения (D(y)):

Знаменатель дроби не должен равняться нулю.

$4-x \neq 0$

$x \neq 4$

Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 4) \cup (4; \infty)$.

Область значений (E(y)):

Выразим переменную $x$ через $y$:

$y(4-x) = 6-x$

$4y - yx = 6-x$

$x - yx = 6 - 4y$

$x(1-y) = 6 - 4y$

$x = \frac{6-4y}{1-y}$

Это выражение имеет смысл при всех значениях $y$, кроме $y=1$.

$1-y \neq 0$

$y \neq 1$

Выделение целой части также показывает горизонтальную асимптоту:

$y = \frac{6-x}{4-x} = \frac{-(x-6)}{-(x-4)} = \frac{x-6}{x-4} = \frac{(x-4)-2}{x-4} = 1 - \frac{2}{x-4}$

Горизонтальная асимптота $y=1$. Следовательно, область значений функции: $E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; \infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 4) \cup (4; \infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; \infty)$.

3) Дана функция $y = \{4x\}$. Фигурные скобки обозначают операцию взятия дробной части числа. То есть $\{a\} = a - \lfloor a \rfloor$, где $\lfloor a \rfloor$ — целая часть числа $a$ (наибольшее целое число, не превосходящее $a$).

Область определения (D(y)):

Операция умножения на 4 и операция взятия дробной части определены для любого действительного числа $x$. Никаких ограничений на $x$ нет.

Следовательно, область определения функции — множество всех действительных чисел.

$D(y) = (-\infty; \infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.

Область значений (E(y)):

По определению, дробная часть любого действительного числа всегда является неотрицательным числом, строго меньшим 1. Для любого числа $a$, $0 \le \{a\} < 1$.

В нашем случае $a=4x$. Независимо от значения $x$, дробная часть числа $4x$ будет лежать в этом промежутке.

$0 \le \{4x\} < 1$

$0 \le y < 1$

Следовательно, область значений функции — полуинтервал $[0; 1)$.

$E(y) = [0; 1)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; \infty)$, область значений $E(y) = [0; 1)$.