Номер 7.29, страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.29. Четной или нечетной является функция $f(x) + g(x)$, где:

1) $f(x) = -11x + x^2$ и $g(x) = -11x - 19$;

2) $f(x) = x^2 + x^3$ и $g(x) = -x^2 + 43x$;

3) $f(x) = |x| - x^3$ и $g(x) = x^3 - x^2$;

4) $f(x) = \frac{6}{x^4 + 1} - 15$ и $g(x) = \frac{x - 6}{x^4 + 1} + 15?

1) Для того чтобы определить, является ли функция $f(x) + g(x)$ четной или нечетной, сначала найдем эту сумму. Обозначим ее как $H(x)$.

$H(x) = f(x) + g(x) = (-11x + x^2) + (-11x - 19) = x^2 - 22x - 19$.

Область определения функции $H(x)$ — все действительные числа, что является симметричным множеством относительно нуля.

Теперь проверим выполнение условия четности/нечетности. Найдем $H(-x)$:

$H(-x) = (-x)^2 - 22(-x) - 19 = x^2 + 22x - 19$.

Сравним полученное выражение с $H(x)$ и $-H(x)$:

• Проверка на четность: $H(-x) = H(x)$?

  $x^2 + 22x - 19 = x^2 - 22x - 19$. Это равенство неверно (например, при $x=1$). Значит, функция не является четной.

• Проверка на нечетность: $H(-x) = -H(x)$?

  $x^2 + 22x - 19 = -(x^2 - 22x - 19) = -x^2 + 22x + 19$. Это равенство также неверно. Значит, функция не является нечетной.

Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной.

2) Найдем сумму функций $H(x) = f(x) + g(x)$:

$H(x) = (x^2 + x^3) + (-x^2 + 43x) = x^2 + x^3 - x^2 + 43x = x^3 + 43x$.

Область определения функции — все действительные числа (симметрична относительно нуля).

Найдем $H(-x)$:

$H(-x) = (-x)^3 + 43(-x) = -x^3 - 43x$.

Сравним $H(-x)$ с $H(x)$ и $-H(x)$:

• Проверка на четность: $H(-x) = H(x)$?

  $-x^3 - 43x = x^3 + 43x$. Неверно.

• Проверка на нечетность: $H(-x) = -H(x)$?

  $-x^3 - 43x = -(x^3 + 43x) = -x^3 - 43x$. Это равенство верно для любого $x$.

Ответ: функция является нечетной.

3) Найдем сумму функций $H(x) = f(x) + g(x)$:

$H(x) = (|x| - x^3) + (x^3 - x^2) = |x| - x^3 + x^3 - x^2 = |x| - x^2$.

Область определения функции — все действительные числа (симметрична относительно нуля).

Найдем $H(-x)$:

$H(-x) = |-x| - (-x)^2$.

Так как $|-x| = |x|$ и $(-x)^2 = x^2$, получаем:

$H(-x) = |x| - x^2$.

Сравним $H(-x)$ с $H(x)$:

• Проверка на четность: $H(-x) = H(x)$?

  $|x| - x^2 = |x| - x^2$. Это равенство верно для любого $x$.

Ответ: функция является четной.

4) Найдем сумму функций $H(x) = f(x) + g(x)$:

$H(x) = (\frac{6}{x^4 + 1} - 15) + (\frac{x - 6}{x^4 + 1} + 15) = \frac{6}{x^4 + 1} + \frac{x - 6}{x^4 + 1} - 15 + 15$.

Складываем дроби с одинаковым знаменателем:

$H(x) = \frac{6 + (x - 6)}{x^4 + 1} = \frac{x}{x^4 + 1}$.

Область определения функции — все действительные числа, так как знаменатель $x^4+1$ никогда не равен нулю (симметрична относительно нуля).

Найдем $H(-x)$:

$H(-x) = \frac{-x}{(-x)^4 + 1} = \frac{-x}{x^4 + 1} = -\frac{x}{x^4 + 1}$.

Сравним $H(-x)$ с $H(x)$ и $-H(x)$:

• Проверка на четность: $H(-x) = H(x)$?

  $-\frac{x}{x^4 + 1} = \frac{x}{x^4 + 1}$. Неверно (кроме $x=0$).

• Проверка на нечетность: $H(-x) = -H(x)$?

  $-\frac{x}{x^4 + 1} = -(\frac{x}{x^4 + 1})$. Это равенство верно для любого $x$.

Ответ: функция является нечетной.