Номер 7.35, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.35. Исследуйте на ограниченность функцию:

1) $y = \sqrt{x^2 - 9x + 8}$;

2) $y = \sqrt{8 - 2x - x^2}$;

3) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 9x + 9}}$;

4) $y = \frac{1}{\sqrt{8 - 2x - x^2}}$.

1) Дана функция $y = \sqrt{x^2 - 9x + 8}$.

Для исследования функции на ограниченность необходимо найти ее область значений. Сначала определим область определения функции.

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:$x^2 - 9x + 8 \geq 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 9x + 8 = 0$. По теореме Виета, корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 8$.Графиком функции $f(x) = x^2 - 9x + 8$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $f(x) \geq 0$ выполняется при $x \in (-\infty, 1] \cup [8, \infty)$. Это и есть область определения функции.

Теперь найдем множество значений функции.По определению арифметического квадратного корня, его значение всегда неотрицательно, то есть $y \geq 0$. Это означает, что функция ограничена снизу числом 0.

Проверим, ограничена ли функция сверху. Для этого рассмотрим ее поведение на бесконечности.При $x \to \infty$, выражение $x^2 - 9x + 8$ также стремится к бесконечности. Следовательно, $\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2 - 9x + 8} = +\infty$.Так как функция может принимать сколь угодно большие значения, она не является ограниченной сверху.

Функция, которая ограничена снизу, но не ограничена сверху, является неограниченной.

Ответ: функция неограничена.

2) Дана функция $y = \sqrt{8 - 2x - x^2}$.

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:$8 - 2x - x^2 \geq 0$.

Умножим неравенство на -1, изменив знак:$x^2 + 2x - 8 \leq 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + 2x - 8 \leq 0$ выполняется между корнями: $x \in [-4, 2]$.

Область определения функции — замкнутый отрезок. Непрерывная на отрезке функция всегда ограничена.

Найдем ее множество значений.Функция ограничена снизу, так как $y \geq 0$. Минимальное значение $y=0$ достигается, когда подкоренное выражение равно нулю, то есть при $x=-4$ и $x=2$.

Для нахождения максимального значения найдем максимум подкоренного выражения $f(x) = -x^2 - 2x + 8$. Это парабола с ветвями вниз, ее максимум находится в вершине.Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(-1)} = -1$.Это значение принадлежит области определения $[-4, 2]$.Максимальное значение подкоренного выражения: $f(-1) = 8 - 2(-1) - (-1)^2 = 8 + 2 - 1 = 9$.Следовательно, максимальное значение функции $y$ равно $\sqrt{9} = 3$.

Множество значений функции есть отрезок $[0, 3]$. Так как функция ограничена и снизу (числом 0), и сверху (числом 3), она является ограниченной.

Ответ: функция ограничена.

3) Дана функция $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 9x + 9}}$.

Найдем область определения. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:$x^2 - 9x + 9 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 9x + 9 = 0$. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 81 - 36 = 45$.Корни: $x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{9 \pm 3\sqrt{5}}{2}$.Парабола $f(x) = x^2 - 9x + 9$ имеет ветви вверх, поэтому $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty, \frac{9 - 3\sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{9 + 3\sqrt{5}}{2}, \infty)$.

Найдем множество значений. Знаменатель $\sqrt{x^2 - 9x + 9}$ всегда положителен, значит и $y > 0$. Функция ограничена снизу числом 0.

Проверим на ограниченность сверху. Значение функции $y$ тем больше, чем ближе к нулю значение знаменателя. Знаменатель стремится к нулю, когда $x$ стремится к одному из корней $\frac{9 \pm 3\sqrt{5}}{2}$.Например, $\lim_{x \to (\frac{9 - 3\sqrt{5}}{2})^-} \frac{1}{\sqrt{x^2 - 9x + 9}} = \frac{1}{0^+} = +\infty$.Функция может принимать сколь угодно большие значения, поэтому она не ограничена сверху.

Так как функция не ограничена сверху, она является неограниченной.

Ответ: функция неограничена.

4) Дана функция $y = \frac{1}{\sqrt{8 - 2x - x^2}}$.

Найдем область определения. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:$8 - 2x - x^2 > 0$, что эквивалентно $x^2 + 2x - 8 < 0$.

Как было найдено в пункте 2), корнями уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$ являются $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 + 2x - 8 < 0$ выполняется на интервале $x \in (-4, 2)$.

Найдем множество значений. Рассмотрим знаменатель $f(x) = \sqrt{8 - 2x - x^2}$. Как было показано в пункте 2), на интервале $(-4, 2)$ подкоренное выражение $g(x) = 8 - 2x - x^2$ принимает значения из полуинтервала $(0, 9]$.Соответственно, знаменатель $f(x)$ принимает значения из $(0, \sqrt{9}]$, то есть $(0, 3]$.

Тогда для функции $y = \frac{1}{f(x)}$ множество значений будет $[\frac{1}{3}, +\infty)$.Минимальное значение функции равно $\frac{1}{3}$, следовательно, она ограничена снизу.

При $x \to -4^+$ или $x \to 2^-$, знаменатель $f(x) \to 0^+$, а значит $y \to +\infty$.Функция не ограничена сверху.

Так как функция не ограничена сверху, она является неограниченной.

Ответ: функция неограничена.