Номер 7.42, страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.42. Постройте график и запишите точки минимума и максимума функции:

1) $f(x) = ||x-2|-2|$

2) $f(x) = ||x+1|-3|$

3) $f(x) = ||x+2|-4|$

1) Для построения графика функции $f(x) = ||x-2|-2|$ выполним следующие шаги:

1. Построим график функции $y_1 = |x-2|$. Это график $y=|x|$, смещенный на 2 единицы вправо по оси Ox. График представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(2, 0)$.

2. Построим график функции $y_2 = |x-2|-2$. Для этого сдвинем график $y_1$ на 2 единицы вниз по оси Oy. Вершина сместится в точку $(2, -2)$. Найдем точки пересечения этого графика с осью Ox: $|x-2|-2 = 0 \implies |x-2| = 2$. Отсюда $x-2 = 2$ или $x-2 = -2$, что дает $x=4$ и $x=0$.

3. Построим итоговый график $f(x) = ||x-2|-2|$. Для этого часть графика $y_2$, которая находится ниже оси Ox (на интервале $(0, 4)$), отражаем симметрично относительно оси Ox. Часть графика, которая находится выше или на оси, остается без изменений.

Полученный график имеет W-образную форму.

Теперь найдем точки минимума и максимума.

Точки минимума функции — это точки, в которых она достигает своего наименьшего значения, равного 0. Это происходит в точках $x=0$ и $x=4$.

Точка локального максимума — это вершина центрального "пика". Она получена отражением точки $(2, -2)$ и имеет координаты $(2, 2)$. Таким образом, точка максимума — $x=2$.

Ответ: Точки минимума: $x=0$, $x=4$. Точка максимума: $x=2$.

2) Для построения графика функции $f(x) = ||x+1|-3|$ выполним следующие шаги:

1. Построим график функции $y_1 = |x+1|$. Это график $y=|x|$, смещенный на 1 единицу влево по оси Ox. Вершина находится в точке $(-1, 0)$.

2. Построим график функции $y_2 = |x+1|-3$, сдвинув график $y_1$ на 3 единицы вниз по оси Oy. Вершина сместится в точку $(-1, -3)$. Найдем точки пересечения с осью Ox: $|x+1|-3 = 0 \implies |x+1| = 3$. Отсюда $x+1 = 3$ или $x+1 = -3$, что дает $x=2$ и $x=-4$.

3. Построим итоговый график $f(x) = ||x+1|-3|$. Для этого часть графика $y_2$, которая находится ниже оси Ox (на интервале $(-4, 2)$), отражаем симметрично относительно оси Ox.

Полученный график имеет W-образную форму.

Теперь найдем точки минимума и максимума.

Точки минимума функции соответствуют ее нулям. Это точки $x=-4$ и $x=2$.

Точка локального максимума соответствует отраженной вершине, точке $(-1, 3)$. Таким образом, точка максимума — $x=-1$.

Ответ: Точки минимума: $x=-4$, $x=2$. Точка максимума: $x=-1$.

3) Для построения графика функции $f(x) = ||x+2|-4|$ выполним следующие шаги:

1. Построим график функции $y_1 = |x+2|$. Это график $y=|x|$, смещенный на 2 единицы влево по оси Ox. Вершина находится в точке $(-2, 0)$.

2. Построим график функции $y_2 = |x+2|-4$, сдвинув график $y_1$ на 4 единицы вниз по оси Oy. Вершина сместится в точку $(-2, -4)$. Найдем точки пересечения с осью Ox: $|x+2|-4 = 0 \implies |x+2| = 4$. Отсюда $x+2 = 4$ или $x+2 = -4$, что дает $x=2$ и $x=-6$.

3. Построим итоговый график $f(x) = ||x+2|-4|$. Для этого часть графика $y_2$, которая находится ниже оси Ox (на интервале $(-6, 2)$), отражаем симметрично относительно оси Ox.

Полученный график имеет W-образную форму.

Теперь найдем точки минимума и максимума.

Точки минимума функции соответствуют ее нулям. Это точки $x=-6$ и $x=2$.

Точка локального максимума соответствует отраженной вершине, точке $(-2, 4)$. Таким образом, точка максимума — $x=-2$.

Ответ: Точки минимума: $x=-6$, $x=2$. Точка максимума: $x=-2$.