Номер 7.45, страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.45. Найдите наибольший корень уравнения $ \frac{x + 11}{x} + \frac{11}{x^2} = -\frac{1}{x} $

Для решения данного уравнения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку в знаменателях дробей стоит переменная $x$, она не может быть равна нулю. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 0$.

Исходное уравнение: $\frac{x+11}{x} + \frac{11}{x^2} = -\frac{1}{x}$.

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль:

$\frac{x+11}{x} + \frac{11}{x^2} + \frac{1}{x} = 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $x^2$. Для этого домножим первую и третью дроби на $x$:

$\frac{x(x+11)}{x^2} + \frac{11}{x^2} + \frac{x}{x^2} = 0$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители:

$\frac{x(x+11) + 11 + x}{x^2} = 0$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{x^2 + 11x + 11 + x}{x^2} = 0$

$\frac{x^2 + 12x + 11}{x^2} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие, что знаменатель не равен нулю ($x^2 \neq 0$), совпадает с нашим ОДЗ ($x \neq 0$). Следовательно, мы можем приравнять числитель к нулю:

$x^2 + 12x + 11 = 0$

Получили стандартное квадратное уравнение. Решим его. Удобно использовать теорему Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ сумма корней $x_1+x_2 = -p$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$. В нашем случае $p=12$, $q=11$.

Ищем два числа, сумма которых равна $-12$, а произведение равно $11$. Этими числами являются $-1$ и $-11$.

$x_1 = -1$

$x_2 = -11$

Проверим: $(-1) + (-11) = -12$ и $(-1) \cdot (-11) = 11$. Корни найдены верно.

Также можно найти корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 144 - 44 = 100$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-12 \pm 10}{2}$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = \frac{-12 + 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-12 - 10}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

Оба корня, $-1$ и $-11$, не равны нулю, значит, они удовлетворяют ОДЗ.

По условию задачи требуется найти наибольший корень. Сравниваем полученные корни:

$-1 > -11$

Следовательно, наибольший корень уравнения равен $-1$.

Ответ: -1.