Номер 7.38, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.38. Представьте в виде суммы четной и нечетной функций функцию

$y = f(x):$

1) $f(x) = 5x^4 + 7x^3 - 4x^2 - 11x + 30;$

2) $f(x) = -x^4 + x^3 - 11|x| + 30 x;$

3) $f(x) = x^3 - 27 x^2 + x^2|x| - x \sqrt{x}.$

Любую функцию $f(x)$, область определения которой симметрична относительно начала координат, можно представить в виде суммы четной функции $g(x)$ и нечетной функции $h(x)$.

Четная составляющая $g(x)$ и нечетная составляющая $h(x)$ находятся по формулам:

$g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$ (четная часть)

$h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$ (нечетная часть)

1) Дана функция $f(x) = 5x^4 + 7x^3 - 4x^2 - 11x + 30$.

Область определения функции — все действительные числа ($D(f) = (-\infty; +\infty)$), она симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = 5(-x)^4 + 7(-x)^3 - 4(-x)^2 - 11(-x) + 30 = 5x^4 - 7x^3 - 4x^2 + 11x + 30$.

Теперь найдем четную и нечетную части функции.

Четная часть $g(x)$:

$g(x) = \frac{(5x^4 + 7x^3 - 4x^2 - 11x + 30) + (5x^4 - 7x^3 - 4x^2 + 11x + 30)}{2} = \frac{10x^4 - 8x^2 + 60}{2} = 5x^4 - 4x^2 + 30$.

Нечетная часть $h(x)$:

$h(x) = \frac{(5x^4 + 7x^3 - 4x^2 - 11x + 30) - (5x^4 - 7x^3 - 4x^2 + 11x + 30)}{2} = \frac{14x^3 - 22x}{2} = 7x^3 - 11x$.

Таким образом, $f(x) = g(x) + h(x) = (5x^4 - 4x^2 + 30) + (7x^3 - 11x)$.

Ответ: $f(x) = (5x^4 - 4x^2 + 30) + (7x^3 - 11x)$.

2) Дана функция $f(x) = -x^4 + x^3 - 11|x| + 30x$.

Область определения функции — все действительные числа ($D(f) = (-\infty; +\infty)$), она симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$, учитывая, что $|-x| = |x|$:

$f(-x) = -(-x)^4 + (-x)^3 - 11|-x| + 30(-x) = -x^4 - x^3 - 11|x| - 30x$.

Найдем четную и нечетную части функции.

Четная часть $g(x)$:

$g(x) = \frac{(-x^4 + x^3 - 11|x| + 30x) + (-x^4 - x^3 - 11|x| - 30x)}{2} = \frac{-2x^4 - 22|x|}{2} = -x^4 - 11|x|$.

Нечетная часть $h(x)$:

$h(x) = \frac{(-x^4 + x^3 - 11|x| + 30x) - (-x^4 - x^3 - 11|x| - 30x)}{2} = \frac{2x^3 + 60x}{2} = x^3 + 30x$.

Таким образом, $f(x) = g(x) + h(x) = (-x^4 - 11|x|) + (x^3 + 30x)$.

Ответ: $f(x) = (-x^4 - 11|x|) + (x^3 + 30x)$.

3) Дана функция $f(x) = x^3 - 27x^2 + x^2|x| - x\sqrt{x}$.

Найдем область определения данной функции. Выражение $\sqrt{x}$ определено только для неотрицательных значений $x$, то есть при $x \ge 0$. Следовательно, область определения функции $D(f) = [0; +\infty)$.

Представление функции в виде суммы четной и нечетной возможно только в том случае, если ее область определения симметрична относительно точки $x=0$. Это необходимое условие, так как для определения четности/нечетности требуется, чтобы для любого $x$ из области определения, $-x$ также принадлежало области определения.

Область определения $D(f) = [0; +\infty)$ не является симметричной относительно нуля. Например, точка $x=4$ входит в область определения, а точка $x=-4$ — нет.

Поэтому данную функцию невозможно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

Ответ: Функцию $f(x) = x^3 - 27x^2 + x^2|x| - x\sqrt{x}$ невозможно представить в виде суммы четной и нечетной функций, так как ее область определения $D(f) = [0; +\infty)$ не является симметричной относительно начала координат.