Номер 7.36, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.36. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $y=\frac{x+3}{x+2}+\sqrt{2+x}$;

2) $y=\frac{x+2}{x-2}+\sqrt{-2+x}$.

1) $y = \frac{x+3}{x+2} + \sqrt{2+x}$

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, а выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$

$2 + x \geq 0 \implies x \geq -2$

Объединяя эти условия, получаем область определения функции: $D(y) = (-2, +\infty)$.

Для нахождения промежутков возрастания и убывания найдем производную функции. Упростим функцию для удобства дифференцирования:

$y = \frac{x+2+1}{x+2} + \sqrt{x+2} = 1 + \frac{1}{x+2} + (x+2)^{1/2}$

Теперь найдем производную $y'$:

$y' = \left(1 + \frac{1}{x+2} + (x+2)^{1/2}\right)' = -\frac{1}{(x+2)^2} + \frac{1}{2\sqrt{x+2}}$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю (производная определена на всей области определения функции):

$y' = 0 \implies -\frac{1}{(x+2)^2} + \frac{1}{2\sqrt{x+2}} = 0$

$\frac{1}{2\sqrt{x+2}} = \frac{1}{(x+2)^2}$

$(x+2)^2 = 2\sqrt{x+2}$

Сделаем замену: пусть $t = \sqrt{x+2}$. Так как $x > -2$, то $t > 0$.

$(t^2)^2 = 2t$

$t^4 = 2t$

Поскольку $t > 0$, мы можем разделить обе части на $t$:

$t^3 = 2 \implies t = \sqrt[3]{2}$

Вернемся к переменной $x$:

$\sqrt{x+2} = \sqrt[3]{2}$

$(x+2) = (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{4}$

$x = \sqrt[3]{4} - 2$

Эта критическая точка принадлежит области определения $D(y)$, так как $\sqrt[3]{4} > \sqrt[3]{1} = 1$, следовательно $x = \sqrt[3]{4} - 2 > 1 - 2 = -1$.

Определим знаки производной на интервалах, на которые критическая точка делит область определения: $(-2, \sqrt[3]{4} - 2)$ и $(\sqrt[3]{4} - 2, +\infty)$.

Знак $y' = -\frac{1}{(x+2)^2} + \frac{1}{2\sqrt{x+2}} = \frac{(x+2)^{3/2} - 2}{2(x+2)^2}$ зависит от знака числителя $(x+2)^{3/2} - 2$.

При $x \in (-2, \sqrt[3]{4} - 2)$, например при $x = -1$, имеем: $(-1+2)^{3/2} - 2 = 1 - 2 = -1 < 0$. Следовательно, $y' < 0$ и функция убывает.

При $x \in (\sqrt[3]{4} - 2, +\infty)$, например при $x = 2$, имеем: $(2+2)^{3/2} - 2 = 4^{3/2} - 2 = 8 - 2 = 6 > 0$. Следовательно, $y' > 0$ и функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-2, \sqrt[3]{4}-2]$ и возрастает на промежутке $[\sqrt[3]{4}-2, +\infty)$.

2) $y = \frac{x+2}{x-2} + \sqrt{-2+x}$

Найдем область определения функции:

$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$

$-2 + x \geq 0 \implies x \geq 2$

Объединяя условия, получаем область определения: $D(y) = (2, +\infty)$.

Найдем производную функции. Преобразуем функцию:

$y = \frac{x-2+4}{x-2} + \sqrt{x-2} = 1 + \frac{4}{x-2} + (x-2)^{1/2}$

Производная $y'$:

$y' = \left(1 + 4(x-2)^{-1} + (x-2)^{1/2}\right)' = -\frac{4}{(x-2)^2} + \frac{1}{2\sqrt{x-2}}$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$y' = 0 \implies -\frac{4}{(x-2)^2} + \frac{1}{2\sqrt{x-2}} = 0$

$\frac{1}{2\sqrt{x-2}} = \frac{4}{(x-2)^2}$

$(x-2)^2 = 8\sqrt{x-2}$

Сделаем замену: пусть $t = \sqrt{x-2}$. Так как $x > 2$, то $t > 0$.

$(t^2)^2 = 8t$

$t^4 = 8t$

Так как $t>0$, делим на $t$:

$t^3 = 8 \implies t = 2$

Вернемся к $x$:

$\sqrt{x-2} = 2$

$x-2 = 4$

$x = 6$

Критическая точка $x=6$ принадлежит области определения $D(y)$.

Определим знаки производной на интервалах $(2, 6)$ и $(6, +\infty)$.

Знак $y' = -\frac{4}{(x-2)^2} + \frac{1}{2\sqrt{x-2}} = \frac{(x-2)^{3/2} - 8}{2(x-2)^2}$ зависит от знака числителя $(x-2)^{3/2} - 8$.

При $x \in (2, 6)$, например при $x=3$: $(3-2)^{3/2} - 8 = 1 - 8 = -7 < 0$. Значит, $y' < 0$ и функция убывает.

При $x \in (6, +\infty)$, например при $x=11$: $(11-2)^{3/2} - 8 = 9^{3/2} - 8 = 27 - 8 = 19 > 0$. Значит, $y' > 0$ и функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(2, 6]$ и возрастает на промежутке $[6, +\infty)$.