Номер 7.39, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.39.Постройте схематический график и перечислите свойства функции:

1)

$y = \begin{cases} x^2 - 9, \text{ если } -5 \le x < -3, \\ 3 + x, \text{ если } -3 \le x < 0, \\ 3 - x, \text{ если } 0 \le x \le 3, \\ x^2 - 9, \text{ если } 3 < x \le 5; \end{cases}$

2)

$y = \begin{cases} -x^2 - 2x - 2, \text{ если } -4 \le x < -1, \\ x, \text{ если } -1 \le x \le 1, \\ -x^2 - 2x + 2, \text{ если } 1 < x \le 4. \end{cases}$

1) Для функции $y = \begin{cases} x^2 - 9, & \text{если } -5 \le x < -3 \\ 3 + x, & \text{если } -3 \le x < 0 \\ 3 - x, & \text{если } 0 \le x \le 3 \\ x^2 - 9, & \text{если } 3 < x \le 5 \end{cases}$

Построение схематического графика:

График функции состоит из четырех частей, симметричных относительно оси Oy.

- На промежутке $[-5, -3)$ — это часть параболы $y=x^2-9$ (ветви вверх), соединяющая точки $(-5, 16)$ (точка включена) и $(-3, 0)$ (точка выколота).

- На промежутке $[-3, 0)$ — это отрезок прямой $y=3+x$, соединяющий точки $(-3, 0)$ (точка включена) и $(0, 3)$ (точка выколота).

- На промежутке $[0, 3]$ — это отрезок прямой $y=3-x$, соединяющий точки $(0, 3)$ (точка включена) и $(3, 0)$ (точка включена).

- На промежутке $(3, 5]$ — это часть параболы $y=x^2-9$, соединяющая точки $(3, 0)$ (точка выколота) и $(5, 16)$ (точка включена).

Функция является непрерывной на всей области определения, так как значения в точках "стыковки" интервалов совпадают: $y(-3)=0$, $y(0)=3$, $y(3)=0$.

Свойства функции:

1. Область определения: $D(y) = [-5, 5]$.

2. Область значений: $E(y) = [0, 16]$.

3. Четность: функция является четной, так как ее область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется $y(-x) = y(x)$. График функции симметричен относительно оси Oy.

4. Нули функции: $y=0$ при $x=-3$ и $x=3$.

5. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на $[-5, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, 5]$. Функция не принимает отрицательных значений.

6. Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутках $[-3, 0]$ и $[3, 5]$; убывает на промежутках $[-5, -3]$ и $[0, 3]$.

7. Точки экстремума: точки локального минимума $x=\pm 3$ (значение в них $y=0$); точка локального максимума $x=0$ (значение в ней $y=3$).

8. Наибольшее и наименьшее значения: $y_{наим} = 0$ (достигается при $x=\pm 3$); $y_{наиб} = 16$ (достигается при $x=\pm 5$).

9. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения $D(y) = [-5, 5]$.

Ответ: Схематический график построен, свойства функции перечислены выше.

2) Для функции $y = \begin{cases} -x^2 - 2x - 2, & \text{если } -4 \le x < -1 \\ x, & \text{если } -1 \le x \le 1 \\ -x^2 - 2x + 2, & \text{если } 1 < x \le 4 \end{cases}$

Построение схематического графика:

График функции состоит из трех частей.

- На промежутке $[-4, -1)$ — это часть параболы $y=-x^2-2x-2$ (ветви вниз, вершина в точке $(-1, -1)$), которая идет от точки $(-4, -10)$ (точка включена) до точки $(-1, -1)$ (точка выколота).

- На промежутке $[-1, 1]$ — это отрезок прямой $y=x$, соединяющий точки $(-1, -1)$ (точка включена) и $(1, 1)$ (точка включена).

- На промежутке $(1, 4]$ — это часть параболы $y=-x^2-2x+2$ (ветви вниз, вершина в точке $(-1, 3)$), которая идет от точки $(1, -1)$ (точка выколота) до точки $(4, -22)$ (точка включена).

Функция непрерывна в точке $x=-1$. В точке $x=1$ функция имеет разрыв первого рода (скачок), так как предел слева $y(1-0) = 1$, а предел справа $y(1+0) = -1$.

Свойства функции:

1. Область определения: $D(y) = [-4, 4]$.

2. Область значений: $E(y) = [-22, 1]$.

3. Четность: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$.

4. Нули функции: $y=0$ при $x=0$.

5. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на $(0, 1]$; $y < 0$ на $[-4, 0) \cup (1, 4]$.

6. Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $[-4, 1]$; убывает на промежутке $(1, 4]$.

7. Точки экстремума: точка локального максимума $x=1$ (значение $y=1$); локальные минимумы достигаются на концах области определения: $y(-4)=-10$ и $y(4)=-22$.

8. Наибольшее и наименьшее значения: $y_{наим} = -22$ (достигается при $x=4$); $y_{наиб} = 1$ (достигается при $x=1$).

9. Непрерывность: функция непрерывна на $[-4, 1) \cup (1, 4]$. В точке $x=1$ имеет разрыв первого рода.

Ответ: Схематический график построен, свойства функции перечислены выше.